Geometría en el espacio: rectas y planos

**(a) [1,25 puntos] Calcula la recta que pasa por $A$ y es paralela a $\pi_1$ y a $\pi_2$.** Si la recta $r$ es paralela a los dos planos $\pi_1$ y $\pi_2$, su vector director $\vec{v_r}$ debe ser perpendicular a los vectores normales de ambos planos. Extraemos los vectores normales de las ecuaciones generales de los planos: - Para $\pi_1 \equiv x + y + z = 0$, el vector normal es $\vec{n_1} = (1, 1, 1)$. - Para $\pi_2 \equiv x - y + z = 0$, el vector normal es $\vec{n_2} = (1, -1, 1)$. El vector director de la recta buscada será el producto vectorial de ambos normales: $$\vec{v_r} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una recta es paralela a un plano, su vector director es perpendicular al vector normal del plano. Si es paralela a dos planos, su dirección es la del producto vectorial de los vectores normales.

Calculamos el producto vectorial mediante el determinante: $$\vec{v_r} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{v_r} = [1 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)]\vec{i} - [1 \cdot 1 - 1 \cdot 1]\vec{j} + [1 \cdot (-1) - 1 \cdot 1]\vec{k}$$ $$\vec{v_r} = (1 + 1)\vec{i} - (1 - 1)\vec{j} + (-1 - 1)\vec{k}$$ $$\vec{v_r} = (2, 0, -2)$$ Para simplificar los cálculos, podemos tomar un vector proporcional como vector director: $$\vec{u_r} = (1, 0, -1)$$ 💡 **Tip:** Podemos usar cualquier vector paralelo al obtenido. Dividir por 2 facilita la escritura de la ecuación de la recta.

Conocemos el punto $A(2, 1, 0)$ y el vector director $\vec{u_r} = (1, 0, -1)$. Escribimos la ecuación de la recta en forma paramétrica: $$r \equiv \begin{cases} x = 2 + \lambda \\ y = 1 \\ z = -\lambda \end{cases}$$ O en forma continua: $$r \equiv \frac{x-2}{1} = \frac{y-1}{0} = \frac{z}{-1}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{r \equiv \begin{cases} x = 2 + \lambda \\ y = 1 \\ z = -\lambda \end{cases}}$$

**(b) [1,25 puntos] Calcula los puntos de la recta $s \equiv \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z}{2}$ que equidistan de $\pi_1$ y $\pi_2$.** Cualquier punto $P$ perteneciente a la recta $s$ tiene la forma: $$P(1 + 2\mu, 2 + 3\mu, 2\mu)$$ Queremos que la distancia de $P$ a $\pi_1$ sea igual a la distancia de $P$ a $\pi_2$: $$d(P, \pi_1) = d(P, \pi_2)$$ 💡 **Tip:** La distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$ es $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.

Calculamos las distancias: - Para $\pi_1 \equiv x + y + z = 0$: $$d(P, \pi_1) = \frac{|(1 + 2\mu) + (2 + 3\mu) + (2\mu)|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|3 + 7\mu|}{\sqrt{3}}$$ - Para $\pi_2 \equiv x - y + z = 0$: $$d(P, \pi_2) = \frac{|(1 + 2\mu) - (2 + 3\mu) + (2\mu)|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2}} = \frac{|-1 + \mu|}{\sqrt{3}}$$ Igualamos ambas expresiones: $$\frac{|3 + 7\mu|}{\sqrt{3}} = \frac{|-1 + \mu|}{\sqrt{3}} \implies |3 + 7\mu| = |-1 + \mu|$$

La igualdad $|a| = |b|$ genera dos casos posibles: **Caso 1:** $3 + 7\mu = -1 + \mu$ $$6\mu = -4 \implies \mu = -\frac{2}{3}$$ **Caso 2:** $3 + 7\mu = -(-1 + \mu)$ $$3 + 7\mu = 1 - \mu \implies 8\mu = -2 \implies \mu = -\frac{1}{4}$$ 💡 **Tip:** Al resolver ecuaciones con valores absolutos, considera siempre la posibilidad de que los argumentos tengan el mismo signo o signos opuestos.

Sustituimos los valores de $\mu$ en la expresión del punto $P(1 + 2\mu, 2 + 3\mu, 2\mu)$: - Para $\mu = -\frac{2}{3}$: $$P_1 = (1 + 2(-\frac{2}{3}), 2 + 3(-\frac{2}{3}), 2(-\frac{2}{3})) = (1 - \frac{4}{3}, 2 - 2, -\frac{4}{3}) = \left(-\frac{1}{3}, 0, -\frac{4}{3}\right)$$ - Para $\mu = -\frac{1}{4}$: $$P_2 = (1 + 2(-\frac{1}{4}), 2 + 3(-\frac{1}{4}), 2(-\frac{1}{4})) = (1 - \frac{1}{2}, 2 - \frac{3}{4}, -\frac{1}{2}) = \left(\frac{1}{2}, \frac{5}{4}, -\frac{1}{2}\right)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P_1\left(-\frac{1}{3}, 0, -\frac{4}{3}\right) \text{ y } P_2\left(\frac{1}{2}, \frac{5}{4}, -\frac{1}{2}\right)}$$