Invertibilidad de matrices y ecuaciones matriciales

**(a) [1 punto] Calcula los valores de $m$ para los cuales $A$ tiene inversa.** Una matriz cuadrada $A$ tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($\det(A) \neq 0$). Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & m & 1 \\ m - 1 & m & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\det(A) = (1 \cdot m \cdot 1) + (m \cdot 0 \cdot 1) + (1 \cdot (m-1) \cdot 1) - [1 \cdot m \cdot 1 + 1 \cdot 0 \cdot 1 + m \cdot (m-1) \cdot 1]$$ $$\det(A) = m + 0 + m - 1 - [m + 0 + m^2 - m]$$ $$\det(A) = 2m - 1 - m^2 = -(m^2 - 2m + 1)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la expresión $m^2 - 2m + 1$ es una identidad notable: $(m-1)^2$.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$- (m - 1)^2 = 0 \implies m - 1 = 0 \implies m = 1$$ Para que la matriz $A$ tenga inversa, el determinante debe ser distinto de cero. Por lo tanto: $$\det(A) \neq 0 \iff m \neq 1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A \text{ tiene inversa para cualquier } m \in \mathbb{R} \setminus \{1\}}$$

**(b) [1,5 puntos] Para $m = 2$, encuentra la matriz $X$ que cumple $AX - BB^t = I$, siendo $B^t$ la matriz traspuesta de $B$ e $I$ la matriz identidad de orden 3.** Primero, calculamos $B^t$ y el producto $BB^t$: $$B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \implies B^t = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Calculamos $BB^t$ (matriz $3 \times 2$ por $2 \times 3$ resulta en una $3 \times 3$): $$BB^t = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+1 & 2+0 & 0-1 \\ 2+0 & 4+0 & 0+0 \\ 0-1 & 0+0 & 0+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Partimos de la ecuación $AX - BB^t = I$. Para despejar $X$, seguimos estos pasos: 1. Sumamos $BB^t$ en ambos lados: $AX = I + BB^t$. 2. Llamamos $C = I + BB^t$ para simplificar. 3. Multiplicamos por la izquierda por $A^{-1}$ (sabemos que existe porque para $m=2$, $m \neq 1$): $$X = A^{-1}(I + BB^t)$$ Calculamos la matriz $C = I + BB^t$: $$C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 2 & 5 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales, el orden de la multiplicación importa. Si $A$ está a la izquierda de $X$, su inversa $A^{-1}$ debe multiplicar también por la izquierda.

Para $m = 2$, la matriz $A$ es: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Determinante: $\det(A) = -(2 - 1)^2 = -1$. Calculamos la matriz de adjuntos $Adj(A)$: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2$; $A_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1$; $A_{13} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1$; $A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$; $A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = -2$; $A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1$; $A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 0$ $$Adj(A) = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \implies (Adj(A))^t = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -2 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ $$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}(Adj(A))^t = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 2 & -1 & -2 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$

Finalmente, multiplicamos $A^{-1}$ por $C$: $$X = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 2 & 5 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} (-2)3+1\cdot 2+2(-1) & (-2)2+1\cdot 5+2\cdot 0 & (-2)(-1)+1\cdot 0+2\cdot 2 \\ 1\cdot 3+0\cdot 2+(-1)(-1) & 1\cdot 2+0\cdot 5+(-1)0 & 1(-1)+0\cdot 0+(-1)2 \\ 1\cdot 3+(-1)2+0(-1) & 1\cdot 2+(-1)5+0\cdot 0 & 1(-1)+(-1)0+0\cdot 2 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} -6+2-2 & -4+5+0 & 2+0+4 \\ 3+0+1 & 2+0+0 & -1+0-2 \\ 3-2+0 & 2-5+0 & -1+0+0 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -6 & 1 & 6 \\ 4 & 2 & -3 \\ 1 & -3 & -1 \end{pmatrix}}$$