Integral de una función logarítmica

**Ejercicio 2.- [2,5 puntos] Calcula $\int \ln \left( \frac{x^2 + 1}{x} \right) dx$ ($\ln$ denota la función logaritmo neperiano).** Para resolver una integral que involucra una función logarítmica sola, el método más adecuado suele ser la **integración por partes**. Recordamos la fórmula de integración por partes: $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$ 💡 **Tip:** Una regla mnemotécnica común para elegir $u$ es **ALPES** (Arcos, Logaritmos, Polinomios, Exponenciales, Senos/Cosenos). Al aparecer un logaritmo, este será nuestra $u$.

Elegimos las partes de la siguiente manera: - $u = \ln \left( \dfrac{x^2 + 1}{x} \right)$ - $dv = dx$ Calculamos $v$ integrando $dv$: $$v = \int dx = x$$ Calculamos $du$ derivando $u$. Para facilitar la derivada, podemos simplificar el logaritmo usando propiedades: $$\ln \left( \frac{x^2 + 1}{x} \right) = \ln(x^2 + 1) - \ln(x)$$ Derivamos término a término: $$du = \left( \frac{2x}{x^2 + 1} - \frac{1}{x} \right) dx$$ Operamos para obtener una única fracción: $$du = \frac{2x^2 - (x^2 + 1)}{x(x^2 + 1)} dx = \frac{x^2 - 1}{x(x^2 + 1)} dx$$ 💡 **Tip:** Las propiedades de los logaritmos como $\ln(a/b) = \ln a - \ln b$ simplifican enormemente el cálculo de derivadas.

Sustituimos en la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$: $$I = x \ln \left( \frac{x^2 + 1}{x} \right) - \int x \cdot \frac{x^2 - 1}{x(x^2 + 1)} dx$$ Simplificamos la $x$ del numerador con la del denominador en la nueva integral: $$I = x \ln \left( \frac{x^2 + 1}{x} \right) - \int \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} dx$$

Para resolver $\int \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} dx$, observamos que es una integral racional donde el grado del numerador es igual al del denominador. Realizamos la división de polinomios o ajustamos el numerador: $$\frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} = \frac{x^2 + 1 - 2}{x^2 + 1} = \frac{x^2 + 1}{x^2 + 1} - \frac{2}{x^2 + 1} = 1 - \frac{2}{x^2 + 1}$$ Ahora integramos de forma sencilla: $$\int \left( 1 - \frac{2}{x^2 + 1} \right) dx = \int 1 \, dx - 2 \int \frac{1}{x^2 + 1} dx = x - 2 \arctan(x)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la integral inmediata $\int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan(x) + C$.

Retomamos la expresión completa sustituyendo el resultado de la integral anterior: $$I = x \ln \left( \frac{x^2 + 1}{x} \right) - [x - 2 \arctan(x)] + C$$ Distribuyendo el signo negativo: $$I = x \ln \left( \frac{x^2 + 1}{x} \right) - x + 2 \arctan(x) + C$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int \ln \left( \frac{x^2 + 1}{x} \right) dx = x \ln \left( \frac{x^2 + 1}{x} \right) - x + 2 \arctan(x) + C}$$