Cálculo de un límite mediante la regla de L'Hôpital

Para resolver el límite, primero evaluamos la función en el punto $x = 0$ sustituyendo directamente: $$\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - e^{-2x} - 2x}{\text{sen}^2(x)} = \frac{\cos(0) - e^{0} - 2(0)}{\text{sen}^2(0)} = \frac{1 - 1 - 0}{0} = \frac{0}{0}$$ Obtenemos una **indeterminación del tipo** $\frac{0}{0}$. Para resolverla, aplicaremos la **Regla de L'Hôpital**, que nos permite calcular el límite del cociente de las derivadas de las funciones. 💡 **Tip:** Recuerda que la Regla de L'Hôpital establece que si $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$, entonces $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$, siempre que este último límite exista.

Derivamos de forma independiente el numerador y el denominador: - Numerador: $(\cos(x) - e^{-2x} - 2x)' = -\text{sen}(x) + 2e^{-2x} - 2$ - Denominador: $(\text{sen}^2(x))' = 2\text{sen}(x)\cos(x) = \text{sen}(2x)$ Aplicamos la regla: $$\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - e^{-2x} - 2x}{\text{sen}^2(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{-\text{sen}(x) + 2e^{-2x} - 2}{\text{sen}(2x)}$$ Volvemos a evaluar el límite sustituyendo $x = 0$: $$\frac{-\text{sen}(0) + 2e^{0} - 2}{\text{sen}(0)} = \frac{0 + 2 - 2}{0} = \frac{0}{0}$$ Como persiste la indeterminación $\frac{0}{0}$, aplicaremos la regla de L'Hôpital una segunda vez. 💡 **Tip:** Para derivar el denominador hemos usado la identidad trigonométrica $2\text{sen}(x)\cos(x) = \text{sen}(2x)$, lo que simplifica la siguiente derivación.

Derivamos nuevamente el numerador y el denominador del nuevo cociente: - Numerador: $(-\text{sen}(x) + 2e^{-2x} - 2)' = -\cos(x) - 4e^{-2x}$ - Denominador: $(\text{sen}(2x))' = 2\cos(2x)$ Aplicamos la regla: $$\lim_{x \to 0} \frac{-\text{sen}(x) + 2e^{-2x} - 2}{\text{sen}(2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{-\cos(x) - 4e^{-2x}}{2\cos(2x)}$$ Ahora evaluamos el límite sustituyendo $x = 0$: $$\lim_{x \to 0} \frac{-\cos(x) - 4e^{-2x}}{2\cos(2x)} = \frac{-\cos(0) - 4e^{0}}{2\cos(0)} = \frac{-1 - 4}{2(1)} = -\frac{5}{2}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - e^{-2x} - 2x}{\text{sen}^2(x)} = -\frac{5}{2}}$$