Cálculo de puntos de una recta para un volumen de tetraedro dado

Para trabajar con un punto genérico de la recta $r$, primero debemos expresar la recta en ecuaciones paramétricas. La recta viene dada por la intersección de dos planos: $$r \equiv \begin{cases} x - y = 0 \implies x = y \\ y - z = 0 \implies y = z \end{cases}$$ Si tomamos $y = \lambda$ como parámetro, tenemos que $x = \lambda$ y $z = \lambda$. Por tanto, cualquier punto $P$ de la recta $r$ tiene la forma: $$P(\lambda, \lambda, \lambda) \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}$$ 💡 **Tip:** Para encontrar puntos específicos en una recta que cumplan una condición de distancia o volumen, siempre es más sencillo trabajar con su forma paramétrica.

Un tetraedro con vértices $A, B, C$ y $P$ queda definido por los vectores que parten de uno de sus vértices, por ejemplo, el vértice $A(1, 1, 0)$. Calculamos los vectores $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ y $\vec{AP}$: - $\vec{AB} = B - A = (1 - 1, 0 - 1, 1 - 0) = (0, -1, 1)$ - $\vec{AC} = C - A = (0 - 1, 1 - 1, 1 - 0) = (-1, 0, 1)$ - $\vec{AP} = P - A = (\lambda - 1, \lambda - 1, \lambda - 0) = (\lambda - 1, \lambda - 1, \lambda)$ $$\boxed{\vec{AB}=(0,-1,1), \quad \vec{AC}=(-1,0,1), \quad \vec{AP}=(\lambda-1, \lambda-1, \lambda)}$$

El volumen de un tetraedro se calcula como un sexto del valor absoluto del producto mixto de los tres vectores que lo definen: $V = \frac{1}{6} |[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AP}]|$. Calculamos el determinante mediante la regla de Sarrus: $$\text{Det} = \begin{vmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ \lambda-1 & \lambda-1 & \lambda \end{vmatrix}$$ $$\text{Det} = [0 \cdot 0 \cdot \lambda + (-1) \cdot 1 \cdot (\lambda-1) + 1 \cdot (-1) \cdot (\lambda-1)] - [(\lambda-1) \cdot 0 \cdot 1 + (\lambda-1) \cdot 1 \cdot 0 + \lambda \cdot (-1) \cdot (-1)]$$ $$\text{Det} = [0 - (\lambda - 1) - (\lambda - 1)] - [0 + 0 + \lambda]$$ $$\text{Det} = [-2\lambda + 2] - \lambda = -3\lambda + 2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto mixto $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$ representa el volumen del paralelepípedo definido por los vectores. El tetraedro ocupa $\frac{1}{6}$ de dicho volumen. $$\boxed{[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AP}] = -3\lambda + 2}$$

Igualamos la fórmula del volumen al valor dado en el enunciado, $\frac{5}{6}$: $$V = \frac{1}{6} | -3\lambda + 2 | = \frac{5}{6}$$ Multiplicando por 6 en ambos lados, obtenemos una ecuación con valor absoluto: $$| -3\lambda + 2 | = 5$$ Esto genera dos posibles casos: **Caso 1:** $$-3\lambda + 2 = 5 \implies -3\lambda = 3 \implies \lambda = -1$$ **Caso 2:** $$-3\lambda + 2 = -5 \implies -3\lambda = -7 \implies \lambda = \frac{7}{3}$$ 💡 **Tip:** Al resolver $|x| = k$, siempre debes considerar tanto $x = k$ como $x = -k$.

Sustituimos los valores de $\lambda$ obtenidos en la expresión del punto genérico $P(\lambda, \lambda, \lambda)$: 1. Para $\lambda = -1$, el punto es $P_1(-1, -1, -1)$. 2. Para $\lambda = \frac{7}{3}$, el punto es $P_2\left(\frac{7}{3}, \frac{7}{3}, \frac{7}{3}\right)$. Ambos puntos pertenecen a la recta $r$ y forman con $A, B$ y $C$ un tetraedro de volumen $\frac{5}{6}$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{P_1(-1, -1, -1) \text{ y } P_2\left(\frac{7}{3}, \frac{7}{3}, \frac{7}{3}\right)}$$