Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**(a) [1,5 puntos] Discute el sistema según los valores de $\lambda$.** Para discutir el sistema, escribimos la matriz de los coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & \lambda & 1 \\ -\lambda & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & \lambda & 1 & | & 4 \\ -\lambda & 1 & 1 & | & 1 \\ 1 & 1 & 1 & | & \lambda + 3 \end{pmatrix}$$ El primer paso es calcular el determinante de la matriz $A$ para ver para qué valores de $\lambda$ el rango de $A$ es máximo (3). 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Frobenius establece que un sistema es compatible si $\text{rank}(A) = \text{rank}(A^*)$.

Calculamos $|A|$ aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & \lambda & 1 \\ -\lambda & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (1\cdot 1\cdot 1) + (\lambda\cdot 1\cdot 1) + (1\cdot(-\lambda)\cdot 1) - \left[ (1\cdot 1\cdot 1) + (1\cdot 1\cdot 1) + (\lambda\cdot(-\lambda)\cdot 1) \right]$$ Operamos: $$|A| = 1 + \lambda - \lambda - (1 + 1 - \lambda^2)$$ $$|A| = 1 - (2 - \lambda^2) = \lambda^2 - 1$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$\lambda^2 - 1 = 0 \implies \lambda^2 = 1 \implies \lambda = \pm 1$$ $$\boxed{|A| = \lambda^2 - 1}$$

Si $\lambda \neq 1$ y $\lambda \neq -1$, el determinante $|A| \neq 0$. En este caso: - $\text{rank}(A) = 3$ - $\text{rank}(A^*) = 3$ (ya que no puede ser mayor que 3 y contiene a $A$) - $n = 3$ (número de incógnitas) Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, al ser $\text{rank}(A) = \text{rank}(A^*) = n = 3$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } \lambda \in \mathbb{R} \setminus \{1, -1\}, \text{ el sistema es Compatible Determinado (SCD)}}$$

Si $\lambda = 1$, sustituimos en la matriz ampliada: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 4 \\ -1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 1 & 1 & 1 & | & 1 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 4 \\ -1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 1 & 1 & 1 & | & 4 \end{pmatrix}$$ Observamos que la primera y la tercera fila son idénticas ($F_1 = F_3$), por lo que el rango máximo es 2. Como el menor $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - (-1) = 2 \neq 0$, entonces: - $\text{rank}(A) = 2$ - $\text{rank}(A^*) = 2$ (ya que la tercera fila no aporta información nueva) Como $\text{rank}(A) = \text{rank}(A^*) = 2 \lt n = 3$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } \lambda = 1, \text{ el sistema es Compatible Indeterminado (SCI)}}$$

Si $\lambda = -1$, sustituimos en la matriz ampliada: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & | & 4 \\ 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 1 & 1 & 1 & | & -1 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & | & 4 \\ 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 1 & 1 & 1 & | & 2 \end{pmatrix}$$ - **Rango de A:** El menor $\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - (-1) = 2 \neq 0$, por lo que $\text{rank}(A) = 2$. - **Rango de A*:** Calculamos el determinante formado por las columnas 2, 3 y 4: $$\begin{vmatrix} -1 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = (-1)\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} - 1\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} + 4\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}$$ $$= -1(2-1) - 1(2-1) + 4(0) = -1 - 1 = -2 \neq 0$$ Por tanto, $\text{rank}(A^*) = 3$. Como $\text{rank}(A) \neq \text{rank}(A^*)$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } \lambda = -1, \text{ el sistema es Incompatible (SI)}}$$

**(b) [1 punto] Resuelve el sistema, si es posible, para $\lambda = 1$.** Como hemos visto en el apartado anterior, si $\lambda = 1$ el sistema es Compatible Indeterminado (SCI). El sistema queda reducido a dos ecuaciones (eliminamos la tercera por ser igual a la primera): $$\begin{cases} x + y + z = 4 \\ -x + y + z = 1 \end{cases}$$ Como el rango es 2, necesitamos un parámetro. Sea **$z = \alpha$**, con $\alpha \in \mathbb{R}$: $$\begin{cases} x + y = 4 - \alpha \\ -x + y = 1 - \alpha \end{cases}$$ Sumamos ambas ecuaciones: $$2y = 5 - 2\alpha \implies y = \frac{5}{2} - \alpha$$ Sustituimos $y$ en la primera ecuación para hallar $x$: $$x + \left(\frac{5}{2} - \alpha\right) = 4 - \alpha \implies x = 4 - \alpha - \frac{5}{2} + \alpha$$ $$x = 4 - \frac{5}{2} = \frac{8-5}{2} = \frac{3}{2}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = \frac{3}{2}, \quad y = \frac{5}{2} - \alpha, \quad z = \alpha \quad (\forall \alpha \in \mathbb{R})}$$