Primitivas e Integración por Sustitución

**(a) [1 punto] $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} (3f(x) - \cos(x)) \, dx$** En primer lugar, aplicamos la propiedad de linealidad de la integral, que nos permite separar la integral de una suma o resta y extraer las constantes: $$\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} (3f(x) - \cos(x)) \, dx = 3 \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} f(x) \, dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos(x) \, dx$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int [a f(x) + b g(x)] \, dx = a \int f(x) \, dx + b \int g(x) \, dx$.

Como el enunciado nos indica que $F(x)$ es una primitiva de $f(x)$, sabemos que $\int f(x) \, dx = F(x)$. Además, la primitiva de $\cos(x)$ es $\sin(x)$. Aplicamos la regla de Barrow en ambos términos: $$3 \left[ F(x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{6}} - \left[ \sin(x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{6}}$$ Evaluamos en los límites superior e inferior: $$= 3 \left( F\left(\frac{\pi}{6}\right) - F(0) \right) - \left( \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) - \sin(0) \right)$$ 💡 **Tip:** La Regla de Barrow establece que $\int_a^b g(x) \, dx = [G(x)]_a^b = G(b) - G(a)$.

Sustituimos los valores conocidos proporcionados por el enunciado y los valores trigonométricos estándar: - $F\left(\frac{\pi}{6}\right) = \pi$ - $F(0) = \frac{\pi}{3}$ - $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$ - $\sin(0) = 0$ Sustituyendo: $$= 3 \left( \pi - \frac{\pi}{3} \right) - \left( \frac{1}{2} - 0 \right)$$ $$= 3 \left( \frac{2\pi}{3} \right) - \frac{1}{2}$$ $$= 2\pi - \frac{1}{2}$$ ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{2\pi - \frac{1}{2}}$$

**(b) [1,5 puntos] $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sin(F(x))f(x) \, dx$** Para resolver esta integral observamos que aparece una función compuesta $\sin(F(x))$ multiplicada por la derivada de su argumento, ya que $F'(x) = f(x)$. Por ello, utilizaremos el método de **integración por cambio de variable**. Definimos: $$u = F(x) \implies du = F'(x) \, dx = f(x) \, dx$$ 💡 **Tip:** El cambio de variable es ideal cuando identificas una función y su derivada multiplicando dentro de la integral.

Al realizar un cambio de variable en una integral definida, es fundamental actualizar los límites de integración para la nueva variable $u$: - Si $x = 0$, entonces $u = F(0) = \frac{\pi}{3}$ - Si $x = \frac{\pi}{6}$, entonces $u = F\left(\frac{\pi}{6}\right) = \pi$ La integral transformada es: $$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\pi} \sin(u) \, du$$

Calculamos la integral de la función seno y aplicamos la regla de Barrow: $$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\pi} \sin(u) \, du = \left[ -\cos(u) \right]_{\frac{\pi}{3}}^{\pi}$$ $$= -\cos(\pi) - (-\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)) = -\cos(\pi) + \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$$ Sustituimos los valores trigonométricos conocidos: - $\cos(\pi) = -1$ - $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ $$= -(-1) + \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$ ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{\frac{3}{2}}$$