Recta tangente de pendiente máxima

La pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función $f$ en un punto $x$ viene dada por su primera derivada, $f'(x)$. Dada la función $f(x) = \frac{1}{x} + \ln(x)$, podemos reescribirla como $f(x) = x^{-1} + \ln(x)$ para facilitar la derivación. Calculamos su derivada: $$f'(x) = -x^{-2} + \frac{1}{x} = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x}$$ Sea $m(x) = f'(x)$ la función que nos devuelve el valor de la pendiente en cada punto $x$ del dominio. 💡 **Tip:** Recuerda que la interpretación geométrica de la derivada $f'(a)$ es precisamente la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto $(a, f(a))$.

Para encontrar el valor de $x$ donde la pendiente $m(x)$ es máxima, debemos estudiar sus puntos críticos. Esto implica calcular la derivada de la función pendiente, es decir, la segunda derivada de la función original, $f''(x)$, e igualarla a cero: $$m'(x) = f''(x) = \frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x}\right) = \frac{d}{dx}(-x^{-2} + x^{-1})$$ $$m'(x) = 2x^{-3} - x^{-2} = \frac{2}{x^3} - \frac{1}{x^2}$$ Para resolver la ecuación $m'(x) = 0$, unificamos el denominador: $$\frac{2-x}{x^3} = 0$$ Dado que $x > 0$ en el intervalo $(1, e)$, el denominador nunca es cero, por lo que: $$2 - x = 0 \implies x = 2$$ Como $e \approx 2,718$, el punto crítico $x = 2$ pertenece efectivamente al intervalo $(1, e)$.

Analizamos el signo de $m'(x) = \frac{2-x}{x^3}$ en el intervalo $(1, e)$ para verificar que en $x=2$ existe un máximo relativo de la pendiente: $$\begin{array}{c|ccc} x & (1, 2) & 2 & (2, e)\\ \hline 2-x & + & 0 & -\\ x^3 & + & + & +\\ \hline m'(x) & + & 0 & - \end{array}$$ - Si $1 \lt x \lt 2$, entonces $m'(x) \gt 0$, lo que significa que la pendiente $m(x)$ está **aumentando**. - Si $2 \lt x \lt e$, entonces $m'(x) \lt 0$, lo que significa que la pendiente $m(x)$ está **disminuyendo**. Por lo tanto, en **$x = 2$** se alcanza el máximo absoluto de la pendiente en el intervalo propuesto.

La ecuación de la recta tangente en un punto $x_0$ es $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$. Procedemos a calcular los valores para $x_0 = 2$: 1. **Valor de la función en el punto:** $$f(2) = \frac{1}{2} + \ln(2)$$ 2. **Valor de la pendiente máxima:** $$m_{max} = f'(2) = -\frac{1}{2^2} + \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$ 3. **Sustitución en la fórmula:** $$y - \left(\frac{1}{2} + \ln(2)\right) = \frac{1}{4}(x - 2)$$ $$y - \frac{1}{2} - \ln(2) = \frac{1}{4}x - \frac{2}{4}$$ $$y = \frac{1}{4}x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \ln(2)$$ 💡 **Tip:** No olvides simplificar los términos constantes para obtener la ecuación en forma explícita $y = mx + n$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{y = \frac{1}{4}x + \ln(2)}$$