Paralelismo y distancia entre recta y plano

**(a) [1,25 puntos] Calcula $m$ sabiendo que $r$ y $\pi$ son paralelos.** Para estudiar la posición relativa entre una recta y un plano, necesitamos el vector director de la recta $\vec{d_r}$ y el vector normal del plano $\vec{n_\pi}$. La recta $r$ viene dada como intersección de dos planos. Sus vectores normales son $\vec{n_1} = (1, 1, 0)$ y $\vec{n_2} = (0, -1, 1)$. El vector director $\vec{d_r}$ se obtiene mediante el producto vectorial: $$\vec{d_r} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante por Sarrus: $$\vec{d_r} = \vec{i}(1 \cdot 1) - \vec{j}(1 \cdot 1) + \vec{k}(1 \cdot (-1)) = (1, -1, -1)$$ Obtenemos también un punto $P_r$ de la recta asignando un valor a una variable, por ejemplo $y = 0$: $$\begin{cases} x + 0 + 2 = 0 \implies x = -2 \\ -0 + z + 5 = 0 \implies z = -5 \end{cases}$$ Así, $P_r(-2, 0, -5)$. 💡 **Tip:** El vector director de una recta dada por dos planos es siempre perpendicular a los vectores normales de dichos planos.

Para que la recta $r$ sea paralela al plano $\pi \equiv 2x + y - mz - 1 = 0$, el vector director de la recta $\vec{d_r}$ debe ser perpendicular al vector normal del plano $\vec{n_\pi} = (2, 1, -m)$. La condición de perpendicularidad es que su producto escalar sea cero: $$\vec{d_r} \cdot \vec{n_\pi} = 0$$ $$(1, -1, -1) \cdot (2, 1, -m) = 0$$ $$1 \cdot 2 + (-1) \cdot 1 + (-1) \cdot (-m) = 0$$ $$2 - 1 + m = 0 \implies 1 + m = 0$$ $$m = -1$$ 💡 **Tip:** Si el producto escalar es cero, la recta puede ser paralela o estar contenida en el plano. Debemos verificar que el punto $P_r$ no pertenece al plano.

Comprobamos si para $m = -1$ la recta está contenida en el plano. Sustituimos $P_r(-2, 0, -5)$ en la ecuación de $\pi \equiv 2x + y + z = 1$: $$2(-2) + 0 + (-5) = -4 - 5 = -9$$ Como $-9 \neq 1$, el punto no pertenece al plano, por lo que la recta es estrictamente paralela. ✅ **Resultado:** $$\boxed{m = -1}$$

**(b) [1,25 puntos] Para $m = -1$, calcula la distancia entre $r$ y $\pi$.** Como hemos comprobado en el apartado anterior, para $m = -1$ la recta $r$ y el plano $\pi$ son paralelos. En este caso, la distancia de la recta al plano es igual a la distancia de cualquier punto de la recta al plano: $$d(r, \pi) = d(P_r, \pi)$$ Datos necesarios: - Punto de la recta: $P_r(-2, 0, -5)$ - Ecuación del plano: $\pi \equiv 2x + y + z - 1 = 0$ 💡 **Tip:** Si la recta cortara al plano, la distancia sería $0$. Si fuera paralela, usamos la fórmula de distancia de un punto a un plano.

Utilizamos la fórmula de la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$: $$d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Sustituimos los valores: $$d(r, \pi) = \frac{|2(-2) + 1(0) + 1(-5) - 1|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2}}$$ $$d(r, \pi) = \frac{|-4 + 0 - 5 - 1|}{\sqrt{4 + 1 + 1}} = \frac{|-10|}{\sqrt{6}} = \frac{10}{\sqrt{6}}$$ Racionalizamos el resultado: $$d(r, \pi) = \frac{10\sqrt{6}}{6} = \frac{5\sqrt{6}}{3} \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(r, \pi) = \frac{5\sqrt{6}}{3} \approx 4,082}$$