Ecuación matricial con matriz simétrica

Antes de comenzar a operar la ecuación matricial, observamos la matriz $A$ para ver si podemos simplificar la expresión. Calculamos la traspuesta de $A$, $A^t$, intercambiando filas por columnas: $$A = \begin{pmatrix} 5 & 4 & 3 \\ 4 & 2 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \implies A^t = \begin{pmatrix} 5 & 4 & 3 \\ 4 & 2 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$ Como $A = A^t$, la matriz es **simétrica**. 💡 **Tip:** Si una matriz es simétrica ($A = A^t$), se cumple que $A^{-1} A^t = A^{-1} A = I$. Esto simplificará enormemente los cálculos posteriores.

Sustituimos la propiedad de simetría en la ecuación original: $$AX = (A^{-1} A^t + I)^2$$ Como $A^t = A$, entonces $A^{-1} A^t = A^{-1} A = I$: $$AX = (I + I)^2$$ $$AX = (2I)^2$$ Aplicando las propiedades de la matriz identidad ($I^2 = I$) y de la potencia de un escalar por una matriz: $$AX = 4I^2 = 4I$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la matriz identidad $I$ actúa como el número 1 en el álgebra matricial. Cualquier matriz $M$ multiplicada por $I$ es la propia matriz $M$ ($MI = IM = M$). $$\boxed{AX = 4I}$$

Para despejar $X$, debemos multiplicar por la izquierda por $A^{-1}$ en ambos miembros de la ecuación. Para ello, es necesario que la matriz $A$ sea invertible (es decir, que $|A| \neq 0$). $$A^{-1} (AX) = A^{-1} (4I)$$ $$(A^{-1} A) X = 4 (A^{-1} I)$$ $$IX = 4A^{-1}$$ $$X = 4A^{-1}$$ Por tanto, la matriz $X$ es simplemente **cuatro veces la inversa de A**.

Calculamos el determinante de $A$ mediante la regla de Sarrus para comprobar que existe la inversa y obtener su valor: $$|A| = \begin{vmatrix} 5 & 4 & 3 \\ 4 & 2 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = (5 \cdot 2 \cdot 1) + (4 \cdot 2 \cdot 3) + (4 \cdot 2 \cdot 3) - (3 \cdot 2 \cdot 3) - (2 \cdot 2 \cdot 5) - (4 \cdot 4 \cdot 1)$$ $$|A| = 10 + 24 + 24 - 18 - 20 - 16$$ $$|A| = 58 - 54 = 4$$ Como $|A| = 4 \neq 0$, la matriz $A$ es **regular (invertible)**. $$\boxed{|A| = 4}$$

Calculamos los adjuntos de todos los elementos de $A$: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 2 - 4 = -2$ - $A_{12} = -\begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = -(4 - 6) = 2$ - $A_{13} = +\begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 8 - 6 = 2$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -(4 - 6) = 2$ - $A_{22} = +\begin{vmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 5 - 9 = -4$ - $A_{23} = -\begin{vmatrix} 5 & 4 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = -(10 - 12) = 2$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 8 - 6 = 2$ - $A_{32} = -\begin{vmatrix} 5 & 3 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} = -(10 - 12) = 2$ - $A_{33} = +\begin{vmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} = 10 - 16 = -6$ La matriz adjunta es: $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 2 \\ 2 & -4 & 2 \\ 2 & 2 & -6 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Dado que $A$ es simétrica, su matriz adjunta también resultará simétrica.

Sabemos que $A^{-1} = \frac{1}{|A|} (\text{Adj}(A))^t$. Como la adjunta es simétrica, $(\text{Adj}(A))^t = \text{Adj}(A)$. $$A^{-1} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} -2 & 2 & 2 \\ 2 & -4 & 2 \\ 2 & 2 & -6 \end{pmatrix}$$ Recuperamos la expresión para $X$ obtenida en el paso 3: $$X = 4A^{-1}$$ $$X = 4 \cdot \left( \frac{1}{4} \begin{pmatrix} -2 & 2 & 2 \\ 2 & -4 & 2 \\ 2 & 2 & -6 \end{pmatrix} \right)$$ $$X = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 2 \\ 2 & -4 & 2 \\ 2 & 2 & -6 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 2 \\ 2 & -4 & 2 \\ 2 & 2 & -6 \end{pmatrix}}$$