Cálculo de un parámetro para un área entre curvas determinada

Para delimitar el recinto de integración, primero determinamos dónde se cruzan la parábola $f(x) = x^2 - ax$ y la recta $y = 2ax$. Para ello, igualamos ambas expresiones: $$x^2 - ax = 2ax$$ $$x^2 - 3ax = 0$$ Factorizamos la ecuación para hallar las raíces: $$x(x - 3a) = 0$$ Esto nos da dos puntos de corte en el eje $x$: * $x_1 = 0$ * $x_2 = 3a$ Como el enunciado indica que $a > 0$, sabemos que $3a > 0$, por lo que el intervalo de integración será $[0, 3a]$. 💡 **Tip:** Para hallar los puntos de corte entre dos funciones $f(x)$ y $g(x)$, siempre debemos resolver la ecuación $f(x) = g(x)$. $$\boxed{x = 0, \quad x = 3a}$$

Para plantear la integral del área correctamente, debemos saber cuál de las dos funciones queda por encima en el intervalo $(0, 3a)$. Evaluamos un punto intermedio, por ejemplo $x = a$: * Parábola: $f(a) = a^2 - a(a) = a^2 - a^2 = 0$ * Recta: $y(a) = 2a(a) = 2a^2$ Dado que el enunciado especifica $a > 0$, entonces $2a^2 > 0$. Por lo tanto, la recta **$y = 2ax$ está por encima** de la parábola en este recinto. 💡 **Tip:** El área siempre se calcula como la integral de la función 'techo' menos la función 'suelo' para asegurar que el resultado sea positivo. $$\boxed{y(x) \ge f(x) \text{ en } [0, 3a]}$$

El área del recinto limitado por las dos gráficas se calcula mediante la integral definida de la diferencia de las funciones: $$\text{Área} = \int_{0}^{3a} [(\text{recta}) - (\text{parábola})] \, dx$$ $$\text{Área} = \int_{0}^{3a} [2ax - (x^2 - ax)] \, dx = \int_{0}^{3a} (3ax - x^2) \, dx$$ Calculamos la primitiva y aplicamos la **Regla de Barrow**: $$\text{Área} = \left[ \frac{3ax^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{3a}$$ $$\text{Área} = \left( \frac{3a(3a)^2}{2} - \frac{(3a)^3}{3} \right) - (0 - 0)$$ $$\text{Área} = \frac{3a(9a^2)}{2} - \frac{27a^3}{3} = \frac{27a^3}{2} - 9a^3$$ Buscamos denominador común para simplificar: $$\text{Área} = \frac{27a^3 - 18a^3}{2} = \frac{9a^3}{2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al elevar $(3a)$ al cuadrado o al cubo, el exponente afecta tanto al número como al parámetro: $(3a)^2 = 9a^2$. $$\boxed{\text{Área} = \frac{9a^3}{2}}$$

Igualamos el resultado obtenido de la integral al valor del área proporcionado por el enunciado ($36$ unidades cuadradas): $$\frac{9a^3}{2} = 36$$ Multiplicamos por $2$ en ambos miembros: $$9a^3 = 72$$ Dividimos entre $9$: $$a^3 = \frac{72}{9} = 8$$ Calculamos la raíz cúbica: $$a = \sqrt[3]{8} = 2$$ Como $a = 2$ es un número real positivo ($a > 0$), cumple con la condición inicial del problema. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 2}$$