Optimización: Suma de áreas de un triángulo y un cuadrado

**a) La función de la variable $x$ que expresa la suma de las áreas del triángulo equilátero y del cuadrado, siendo $0 \le x \le 100$ (4 puntos).** Primero, definimos las dimensiones de cada figura a partir de la longitud del alambre: 1. **Triángulo equilátero:** Se construye con un trozo de longitud $x$. Como tiene 3 lados iguales, cada lado mide $l_t = \frac{x}{3}$. Para calcular el área del triángulo, necesitamos su altura $h$ usando Pitágoras: $$h = \sqrt{\left(\frac{x}{3}\right)^2 - \left(\frac{x}{6}\right)^2} = \sqrt{\frac{x^2}{9} - \frac{x^2}{36}} = \sqrt{\frac{3x^2}{36}} = \frac{\sqrt{3}x}{6}$$ El área del triángulo $A_T$ es: $$A_T = \frac{\text{base} \cdot \text{altura}}{2} = \frac{\frac{x}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}x}{6}}{2} = \frac{\sqrt{3}x^2}{36}$$ 2. **Cuadrado:** Se construye con el resto, $100 - x$. Cada lado mide $l_c = \frac{100 - x}{4}$. El área del cuadrado $A_C$ es: $$A_C = (l_c)^2 = \left(\frac{100 - x}{4}\right)^2 = \frac{(100 - x)^2}{16}$$ La función suma de áreas $f(x)$ es: $$f(x) = \frac{\sqrt{3}}{36}x^2 + \frac{(100 - x)^2}{16}$$ 💡 **Tip:** El área de un triángulo equilátero de lado $l$ siempre es $\frac{\sqrt{3}}{4}l^2$. Si sustituyes $l = \frac{x}{3}$, obtendrás el mismo resultado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(x) = \frac{\sqrt{3}}{36}x^2 + \frac{(100 - x)^2}{16}, \quad 0 \le x \le 100}$$

**b) El valor de la variable $x$ en el intervalo $[0,100]$ para el cual dicha función alcanza su mínimo valor (3 puntos).** Para hallar los extremos relativos, derivamos la función $f(x)$: $$f'(x) = \frac{\sqrt{3}}{36} \cdot 2x + \frac{2(100 - x)}{16} \cdot (-1)$$ Simplificamos: $$f'(x) = \frac{\sqrt{3}}{18}x - \frac{100 - x}{8}$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$\frac{\sqrt{3}}{18}x = \frac{100 - x}{8} \implies 8\sqrt{3}x = 18(100 - x)$$ $$8\sqrt{3}x = 1800 - 18x \implies x(8\sqrt{3} + 18) = 1800$$ $$x = \frac{1800}{18 + 8\sqrt{3}} = \frac{900}{9 + 4\sqrt{3}}$$ Calculando el valor aproximado: $$x \approx \frac{900}{9 + 4(1.732)} \approx \frac{900}{15.928} \approx 56.50 \text{ cm}$$ ✅ **Punto crítico:** $$\boxed{x = \frac{900}{9 + 4\sqrt{3}} \approx 56.50}$$

Para confirmar que es un mínimo, calculamos la segunda derivada: $$f''(x) = \frac{\sqrt{3}}{18} - \left(-\frac{1}{8}\right) = \frac{\sqrt{3}}{18} + \frac{1}{8}$$ Como $f''(x) > 0$ para cualquier valor de $x$ (es una constante positiva), la función es siempre cóncava hacia arriba ($\cup$), lo que garantiza que el punto crítico hallado es un **mínimo absoluto**. **Tabla de signos de $f'(x)$:** $$\begin{array}{c|ccc} x & [0, 56.50) & 56.50 & (56.50, 100] \\\hline f'(x) & - & 0 & + \\\hline f(x) & \searrow & \text{mín} & \nearrow \end{array}$$ 💡 **Tip:** Si la segunda derivada es positiva en un punto crítico, estamos ante un mínimo relativo. Al ser una función cuadrática con coeficiente principal positivo, el mínimo relativo es también absoluto en su dominio.

**c) El valor de la variable $x$ en el intervalo $[0,100]$ para el cual dicha función alcanza su máximo valor. Interpretar el resultado obtenido (3 puntos).** Al ser una función continua en un intervalo cerrado $[0, 100]$ y tener un único mínimo, el máximo debe encontrarse en uno de los extremos del intervalo. Evaluamos $f(x)$ en $x=0$ y $x=100$: 1. **Si $x = 0$ (Todo el alambre para el cuadrado):** $$f(0) = \frac{\sqrt{3}}{36}(0)^2 + \frac{(100 - 0)^2}{16} = \frac{10000}{16} = 625 \text{ cm}^2$$ 2. **Si $x = 100$ (Todo el alambre para el triángulo):** $$f(100) = \frac{\sqrt{3}}{36}(100)^2 + \frac{(100 - 100)^2}{16} = \frac{10000\sqrt{3}}{36} \approx \frac{17320.5}{36} \approx 481.12 \text{ cm}^2$$ Comparando los valores: $625 > 481.12$. **Interpretación:** El área máxima se obtiene destinando todo el alambre para construir el cuadrado ($x=0$), mientras que el área del triángulo sería nula. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 0 \text{ cm}}$$