Geometría en el espacio: Rectas, planos y distancias

**a) La recta $s$ que corta a la recta $r$, pasa por el punto $A$, y es perpendicular a la recta $r$ (4 puntos).** Primero, identificamos un punto y el vector director de la recta $r$. A partir de su ecuación continua $\frac{x-3}{-1} = \frac{y+1}{3} = \frac{z}{2}$, obtenemos: - Punto de la recta: $P_r(3, -1, 0)$ - Vector director: $\vec{v}_r = (-1, 3, 2)$ Para hallar la recta $s$ perpendicular a $r$ que pasa por $A$, primero encontraremos el punto de corte $Q$ entre ambas rectas. Este punto $Q$ es la proyección ortogonal de $A$ sobre $r$. 💡 **Tip:** El punto $Q$ es el único punto de la recta $r$ tal que el vector $\vec{AQ}$ es perpendicular al vector director de la recta $\vec{v}_r$.

Para hallar $Q$ de forma didáctica, definimos un plano auxiliar $\pi_1$ que sea perpendicular a $r$ y pase por $A(5,7,3)$. El vector normal del plano será el vector director de la recta: $\vec{n}_{\pi_1} = \vec{v}_r = (-1, 3, 2)$. La ecuación del plano es: $$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$$ $$-1(x - 5) + 3(y - 7) + 2(z - 3) = 0$$ $$-x + 5 + 3y - 21 + 2z - 6 = 0$$ $$-x + 3y + 2z - 22 = 0$$ Multiplicando por $-1$ para simplificar: $$\pi_1: x - 3y - 2z + 22 = 0$$ 💡 **Tip:** Un plano perpendicular a una recta tiene como vector normal el vector director de dicha recta.

El punto $Q$ es la intersección de la recta $r$ con el plano $\pi_1$. Expresamos $r$ en ecuaciones paramétricas: $$r: \begin{cases} x = 3 - \lambda \\ y = -1 + 3\lambda \\ z = 2\lambda \end{cases}$$ Sustituimos estas expresiones en la ecuación del plano $\pi_1$: $$(3 - \lambda) - 3(-1 + 3\lambda) - 2(2\lambda) + 22 = 0$$ $$3 - \lambda + 3 - 9\lambda - 4\lambda + 22 = 0$$ $$-14\lambda + 28 = 0 \implies 14\lambda = 28 \implies \lambda = 2$$ Sustituimos $\lambda = 2$ en las paramétricas de $r$ para obtener $Q$: $$x = 3 - 2 = 1$$ $$y = -1 + 3(2) = 5$$ $$z = 2(2) = 4$$ El punto de intersección es **$Q(1, 5, 4)$**.

La recta $s$ pasa por $A(5, 7, 3)$ y por $Q(1, 5, 4)$. Su vector director será $\vec{v}_s = \vec{QA}$: $$\vec{v}_s = (5 - 1, 7 - 5, 3 - 4) = (4, 2, -1)$$ La ecuación de la recta $s$ en forma continua es: $$\frac{x - 5}{4} = \frac{y - 7}{2} = \frac{z - 3}{-1}$$ ✅ **Resultado (recta s):** $$\boxed{s: \dfrac{x-5}{4} = \dfrac{y-7}{2} = \dfrac{z-3}{-1}}$$

**b) La distancia del punto $A$ a la recta $r$ (3 puntos).** La distancia del punto $A$ a la recta $r$ coincide con la distancia entre el punto $A$ y el punto $Q$ (su proyección sobre la recta), calculada como el módulo del vector $\vec{AQ}$. Sabemos que $\vec{QA} = (4, 2, -1)$, por lo que $\vec{AQ} = (-4, -2, 1)$. $$d(A, r) = |\vec{AQ}| = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2 + 1^2}$$ $$d(A, r) = \sqrt{16 + 4 + 1} = \sqrt{21}$$ 💡 **Tip:** También se puede usar la fórmula $d(A, r) = \frac{|\vec{P_rA} \times \vec{v}_r|}{|\vec{v}_r|}$, pero habiendo calculado $Q$ en el apartado anterior, este método es directo. ✅ **Resultado (distancia):** $$\boxed{d(A, r) = \sqrt{21} \text{ unidades}}$$

**c) La distancia del punto $B(1,1,1)$ al plano $\pi$ que pasa por $(3, -1, 0)$ y es perpendicular a $r$ (3 puntos).** Sea $P_\pi(3, -1, 0)$ el punto del plano. Como $\pi$ es perpendicular a $r$, su vector normal es $\vec{n}_\pi = \vec{v}_r = (-1, 3, 2)$. La ecuación del plano $\pi$ es: $$-1(x - 3) + 3(y + 1) + 2(z - 0) = 0$$ $$-x + 3 + 3y + 3 + 2z = 0$$ $$-x + 3y + 2z + 6 = 0$$ Cambiando de signo para mayor comodidad: $$\pi: x - 3y - 2z - 6 = 0$$

Aplicamos la fórmula de la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$: $$d(B, \pi) = \frac{|A x_B + B y_B + C z_B + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Para $B(1, 1, 1)$ y $\pi: x - 3y - 2z - 6 = 0$: $$d(B, \pi) = \frac{|1(1) - 3(1) - 2(1) - 6|}{\sqrt{1^2 + (-3)^2 + (-2)^2}}$$ $$d(B, \pi) = \frac{|1 - 3 - 2 - 6|}{\sqrt{1 + 9 + 4}} = \frac{|-10|}{\sqrt{14}} = \frac{10}{\sqrt{14}}$$ Racionalizando el resultado: $$d(B, \pi) = \frac{10\sqrt{14}}{14} = \frac{5\sqrt{14}}{7}$$ ✅ **Resultado (distancia al plano):** $$\boxed{d(B, \pi) = \dfrac{5\sqrt{14}}{7} \text{ unidades}}$$