Potencias de matrices, inversa y propiedades de determinantes

**a) Los valores de $a$ y $b$ para los cuales $A^{-1} = aA + bI$ (3 puntos).** Partimos de la igualdad dada: $$A^2 + 2A = 3I$$ Para hallar la inversa $A^{-1}$, debemos manipular la expresión para obtener una forma del tipo $A \cdot (\dots) = I$. Primero, aislamos el término con la identidad $I$: $$\frac{1}{3}(A^2 + 2A) = I$$ Ahora, factorizamos la matriz $A$ por la izquierda (o por la derecha, ya que en este caso conmutan): $$A \cdot \left[ \frac{1}{3}(A + 2I) \right] = I$$ Por la definición de matriz inversa, si $A \cdot B = I$, entonces $B = A^{-1}$. Por lo tanto: $$A^{-1} = \frac{1}{3}A + \frac{2}{3}I$$ Comparando con la expresión del enunciado $A^{-1} = aA + bI$, identificamos los coeficientes: $$a = \frac{1}{3}, \quad b = \frac{2}{3}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que exista la inversa, el determinante de la matriz debe ser distinto de cero. En este tipo de ecuaciones matriciales, la existencia de la inversa se deduce directamente al poder despejar la identidad. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = \frac{1}{3}, \quad b = \frac{2}{3}}$$

**b) Los valores de $\alpha$ y $\beta$ para los cuales $A^4 = \alpha A + \beta I$ (4 puntos).** Para calcular potencias elevadas a partir de una ecuación polinómica, despejamos la potencia de mayor grado y vamos sustituyendo sucesivamente. De $A^2 + 2A = 3I$, despejamos $A^2$: $$A^2 = -2A + 3I$$ Calculamos $A^3$ multiplicando la expresión anterior por $A$: $$A^3 = A \cdot A^2 = A(-2A + 3I) = -2A^2 + 3A$$ Sustituimos de nuevo el valor de $A^2$: $$A^3 = -2(-2A + 3I) + 3A = 4A - 6I + 3A = 7A - 6I$$ 💡 **Tip:** Este método evita tener que elevar la matriz a mano y es muy útil cuando no conocemos los elementos internos de la matriz $A$.

Ahora calculamos $A^4$ multiplicando $A^3$ por $A$: $$A^4 = A \cdot A^3 = A(7A - 6I) = 7A^2 - 6A$$ Sustituimos una vez más la expresión de $A^2 = -2A + 3I$: $$A^4 = 7(-2A + 3I) - 6A = -14A + 21I - 6A$$ Agrupamos términos semejantes: $$A^4 = -20A + 21I$$ Comparando con la expresión $A^4 = \alpha A + \beta I$, obtenemos: $$\alpha = -20, \quad \beta = 21$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha = -20, \quad \beta = 21}$$

**c) El determinante de la matriz $2B^{-1}$, sabiendo que $B$ es una matriz cuadrada de orden 3 cuyo determinante es 2 (3 puntos).** Debemos aplicar las propiedades de los determinantes paso a paso: 1. **Propiedad del producto por un escalar:** Si $B$ es una matriz de orden $n$, entonces $\det(k \cdot B) = k^n \cdot \det(B)$. Como $B$ es de orden 3 y el escalar es 2: $$\det(2B^{-1}) = 2^3 \cdot \det(B^{-1})$$ 2. **Propiedad de la matriz inversa:** El determinante de la inversa es el inverso del determinante: $$\det(B^{-1}) = \frac{1}{\det(B)}$$ Sustituimos los valores conocidos ($\det(B) = 2$): $$\det(2B^{-1}) = 8 \cdot \frac{1}{\det(B)} = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$$ 💡 **Tip:** No olvides elevar el escalar al orden de la matriz. Es el error más común en este tipo de ejercicios. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\det(2B^{-1}) = 4}$$