Estudio de función racional: asíntotas, monotonía e integración

**a) El dominio y las asíntotas de la función $f(x)$ (2 puntos).** El dominio de una función racional es el conjunto de todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador. Resolvemos: $$x^2 - x = 0 \implies x(x - 1) = 0$$ De aquí obtenemos las raíces $x = 0$ y $x = 1$. 💡 **Tip:** El dominio de $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ es $\mathbb{R} \setminus \{x \mid Q(x) = 0\}$. ✅ **Resultado (Dominio):** $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{0, 1\}}$$

Las asíntotas verticales suelen encontrarse en los puntos que no pertenecen al dominio. Analizamos los límites laterales en $x = 0$ y $x = 1$: **Para $x = 0$:** $$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2 - x} = \frac{1}{0} = \infty$$ (Más concretamente: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = +\infty$ y $\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty$). **Para $x = 1$:** $$\lim_{x \to 1} \frac{1}{x^2 - x} = \frac{1}{0} = \infty$$ (Más concretamente: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty$ y $\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty$). ✅ **Resultado (Asíntotas Verticales):** $$\boxed{x = 0, \quad x = 1}$$

Para las asíntotas horizontales, calculamos el límite cuando $x \to \pm\infty$: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^2 - x} = 0$$ Como el límite es un valor finito $L=0$, existe una asíntota horizontal. Al existir asíntota horizontal, **no existen asíntotas oblicuas**. 💡 **Tip:** Si el grado del denominador es mayor que el del numerador, la asíntota horizontal es siempre $y = 0$. ✅ **Resultado (Asíntota Horizontal):** $$\boxed{y = 0}$$

**b) Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función $f(x)$ (4 puntos).** Calculamos la derivada de $f(x) = (x^2 - x)^{-1}$ usando la regla de la cadena (o la regla del cociente): $$f'(x) = -1 \cdot (x^2 - x)^{-2} \cdot (2x - 1) = \frac{-(2x - 1)}{(x^2 - x)^2} = \frac{1 - 2x}{(x^2 - x)^2}$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$f'(x) = 0 \implies 1 - 2x = 0 \implies x = \frac{1}{2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para estudiar la monotonía debemos incluir en la tabla tanto los puntos donde $f'(x)=0$ como los puntos donde la función no está definida (discontinuidades).

Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el dominio y el punto crítico $x = 1/2$. El denominador $(x^2-x)^2$ siempre es positivo en el dominio, por lo que el signo depende solo de $1-2x$. $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, 1/2) & 1/2 & (1/2, 1) & 1 & (1, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & \nexists & + & 0 & - & \nexists & - \\ \hline f(x) & \nearrow & \nexists & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \nexists & \searrow \end{array}$$ **Intervalos:** - En $(-\infty, 0) \cup (0, 1/2)$, $f'(x) \gt 0$, luego la función es **creciente**. - En $(1/2, 1) \cup (1, +\infty)$, $f'(x) \lt 0$, luego la función es **decreciente**. ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\begin{aligned} & \text{Creciente: } (-\infty, 0) \cup (0, 1/2) \\ & \text{Decreciente: } (1/2, 1) \cup (1, +\infty) \end{aligned}}$$

**c) El área limitada por la curva $y = f(x)$, el eje de abcisas y las rectas $x = 2$ y $x = 3$ (4 puntos).** El área viene dada por la integral definida: $$A = \int_{2}^{3} |f(x)| \, dx$$ Como hemos visto que en $(1, +\infty)$ la función es continua y, evaluando por ejemplo en $x=2$, $f(2) = 1/(4-2) = 1/2 > 0$, la función es positiva en todo el intervalo $[2, 3]$. $$A = \int_{2}^{3} \frac{1}{x^2 - x} \, dx$$ 💡 **Tip:** Siempre comprueba si la función corta al eje $X$ en el intervalo de integración. En este caso, $f(x)=0$ no tiene solución.

Para integrar $\frac{1}{x(x-1)}$, descomponemos en fracciones simples: $$\frac{1}{x(x-1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1}$$ Multiplicando por el denominador común: $$1 = A(x-1) + Bx$$ - Si $x = 0 \implies 1 = A(-1) \implies A = -1$ - Si $x = 1 \implies 1 = B(1) \implies B = 1$ Por tanto: $$\frac{1}{x^2 - x} = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x}$$ 💡 **Tip:** La integral de $\frac{1}{x-a}$ es $\ln|x-a|$.

Calculamos la integral indefinida y aplicamos la regla de Barrow: $$\int \left( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x} \right) dx = \ln|x-1| - \ln|x| = \ln\left|\frac{x-1}{x}\right|$$ Evaluamos en los límites $x=2$ y $x=3$: $$A = \left[ \ln\left|\frac{x-1}{x}\right| \right]_{2}^{3} = \ln\left(\frac{3-1}{3}\right) - \ln\left(\frac{2-1}{2}\right)$$ $$A = \ln\left(\frac{2}{3}\right) - \ln\left(\frac{1}{2}\right) = \ln\left( \frac{2/3}{1/2} \right) = \ln\left(\frac{4}{3}\right)$$ ✅ **Resultado (Área):** $$\boxed{A = \ln\left(\frac{4}{3}\right) \approx 0.2877 \text{ unidades}^2}$$