Geometría en el espacio: Ortogonalidad, área y planos

**a) El valor del parámetro $\lambda$ para que el segmento $AC$ sea la hipotenusa de un triángulo rectángulo de vértices $A, B$ y $C$ (3 puntos).** Si el segmento $AC$ es la hipotenusa, el ángulo recto del triángulo debe estar situado en el vértice $B$. Por tanto, los vectores $\vec{BA}$ y $\vec{BC}$ deben ser perpendiculares (ortogonales). Primero, calculamos las componentes de estos vectores restando las coordenadas de sus extremos: $$\vec{BA} = A - B = (-1 - 2, 2 - 3, \lambda - 5) = (-3, -1, \lambda - 5)$$ $$\vec{BC} = C - B = (3 - 2, 5 - 3, 3 - 5) = (1, 2, -2)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que un vector $\vec{UV}$ se obtiene siempre restando las coordenadas del punto final menos las del punto inicial: $\vec{UV} = V - U$.

Para que los vectores sean perpendiculares, su producto escalar debe ser igual a cero: $$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = 0$$ Sustituimos las componentes calculadas anteriormente: $$(-3) \cdot (1) + (-1) \cdot (2) + (\lambda - 5) \cdot (-2) = 0$$ $$-3 - 2 - 2\lambda + 10 = 0$$ $$5 - 2\lambda = 0$$ $$2\lambda = 5 \implies \lambda = \frac{5}{2}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lambda = 2,5}$$ 💡 **Tip:** El producto escalar de dos vectores $(u_1, u_2, u_3) \cdot (v_1, v_2, v_3)$ se calcula como $u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$.

**b) El área del triángulo de vértices $A, B$ y $C$ cuando $\lambda = 6$ (4 puntos).** Si $\lambda = 6$, el punto $A$ es $A(-1, 2, 6)$. Para hallar el área del triángulo, utilizaremos la fórmula basada en el producto vectorial de dos vectores que compartan un vértice, por ejemplo, $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$: $$\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$$ Calculamos los vectores: $$\vec{AB} = B - A = (2 - (-1), 3 - 2, 5 - 6) = (3, 1, -1)$$ $$\vec{AC} = C - A = (3 - (-1), 5 - 2, 3 - 6) = (4, 3, -3)$$ 💡 **Tip:** El módulo del producto vectorial de dos vectores es igual al área del paralelogramo que forman. La mitad de ese módulo es el área del triángulo.

Calculamos el producto vectorial $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ mediante el determinante de la matriz con los vectores unitarios $\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 1 & -1 \\ 4 & 3 & -3 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus o por menores (primera fila): $$\mathbf{i} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 3 & -3 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 4 & -3 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 3 \end{vmatrix}$$ $$= \mathbf{i} (-3 - (-3)) - \mathbf{j} (-9 - (-4)) + \mathbf{k} (9 - 4)$$ $$= 0\mathbf{i} - (-5)\mathbf{j} + 5\mathbf{k} = (0, 5, 5)$$ $$\boxed{\vec{AB} \times \vec{AC} = (0, 5, 5)}$$

Calculamos el módulo del vector resultante: $$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{0^2 + 5^2 + 5^2} = \sqrt{0 + 25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \text{ u}^2$$ Finalmente, aplicamos la fórmula del área: $$\text{Área} = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \approx 3,536 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \text{ u}^2}$$

**c) La ecuación del plano que contiene al triángulo de vértices $A, B$ y $C$ cuando $\lambda = 6$ (3 puntos).** El plano $\pi$ que contiene a los tres puntos tiene como vectores directores $\vec{AB} y \vec{AC}$. Por lo tanto, el vector normal al plano $\vec{n}_\pi$ es el producto vectorial calculado en el apartado anterior: $$\vec{n}_\pi = \vec{AB} \times \vec{AC} = (0, 5, 5)$$ Podemos simplificar el vector normal usando uno proporcional para que la ecuación sea más sencilla: $$\vec{n} = (0, 1, 1)$$ La ecuación general del plano será de la forma $0x + 1y + 1z + D = 0$, es decir: $$y + z + D = 0$$ 💡 **Tip:** Cualquier vector normal $\vec{n} = (A, B, C)$ define un plano $Ax + By + Cz + D = 0$. Multiplicar o dividir el vector normal por un escalar no cambia la orientación del plano.

Para hallar $D$, sustituimos uno de los puntos del plano, por ejemplo el punto $B(2, 3, 5)$: $$3 + 5 + D = 0 \implies 8 + D = 0 \implies D = -8$$ Sustituyendo $D$, obtenemos la ecuación general: $$y + z - 8 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{y + z - 8 = 0}$$