Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones con parámetro

**a) Los valores del parámetro $a$ para los cuales el sistema es compatible determinado (2 puntos).** Primero, escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ es la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ -a & 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & -1 & 1-a \\ -1 & 0 & 1 & 5 \\ -a & 1 & -1 & 1 \end{array}\right)$$ Para que el sistema sea **Compatible Determinado (SCD)**, según el Teorema de Rouché-Capelli, el rango de la matriz $A$ debe ser igual al rango de la matriz ampliada $A^*$ e igual al número de incógnitas ($n=3$). Esto ocurre cuando el determinante de $A$ es distinto de cero. Calculamos $|A|$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ -a & 1 & -1 \end{vmatrix} = (0 \cdot 0 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 \cdot (-a) + (-1) \cdot (-1) \cdot 1) - ((-a) \cdot 0 \cdot (-1) + 1 \cdot (-1) \cdot (-1) + (-1) \cdot 1 \cdot 0)$$ $$|A| = (0 - a + 1) - (0 + 1 + 0) = -a + 1 - 1 = -a$$ 💡 **Tip:** Un sistema cuadrado es Compatible Determinado si y solo si el determinante de su matriz de coeficientes es no nulo.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$-a = 0 \implies a = 0$$ - **Si $a \neq 0$**: El $|A| \neq 0$, por lo que $rg(A) = 3 = rg(A^*) = n$. El sistema es **Compatible Determinado**. - **Si $a = 0$**: El $|A| = 0$, por lo que $rg(A) < 3$. Analizaremos este caso en el apartado (c). ✅ **Resultado apartado a):** $$\boxed{\text{El sistema es Compatible Determinado para } a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}}$$

**b) Las soluciones del sistema cuando $a = 3$ (4 puntos).** Si $a = 3$, el determinante es $|A| = -3$. Como $a \neq 0$, sabemos que es un **SCD**. Sustituimos $a=3$ en el sistema: $$\begin{cases} y - z = 1-3 \\ -x + z = 5 \\ -3x + y - z = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} y - z = -2 & (1) \\ -x + z = 5 & (2) \\ -3x + y - z = 1 & (3) \end{cases}$$ Podemos resolver por sustitución de forma sencilla: 1. De la ecuación (1): $y - z = -2$. 2. Sustituimos este valor directamente en la ecuación (3): $$-3x + (y - z) = 1 \implies -3x + (-2) = 1 \implies -3x = 3 \implies \mathbf{x = -1}$$ 3. Sustituimos $x = -1$ en la ecuación (2) para hallar $z$: $$-(-1) + z = 5 \implies 1 + z = 5 \implies \mathbf{z = 4}$$ 4. Sustituimos $z = 4$ en la ecuación (1) para hallar $y$: $$y - 4 = -2 \implies \mathbf{y = 2}$$ 💡 **Tip:** Siempre comprueba la solución sustituyendo los valores en las tres ecuaciones originales. ✅ **Resultado apartado b):** $$\boxed{x = -1, \, y = 2, \, z = 4}$$

**c) Las soluciones del sistema para los valores de $a$ que lo hacen compatible indeterminado (4 puntos).** Retomamos el análisis de $a = 0$. En este caso, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \end{array}\right)$$ Observamos que la primera fila ($F_1$) y la tercera fila ($F_3$) son idénticas. Esto implica que $rg(A) = rg(A^*)$. Como el determinante de la submatriz $\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$, el rango es 2. Como $rg(A) = rg(A^*) = 2 \lt 3$ (nº incógnitas), por el **Teorema de Rouché-Capelli**, el sistema es **Compatible Indeterminado** para **$a = 0$**.

Para resolver el sistema cuando $a = 0$, eliminamos la ecuación redundante ($F_3$) y nos quedamos con: $$\begin{cases} y - z = 1 \\ -x + z = 5 \end{cases}$$ Tomamos $z$ como parámetro, $z = \lambda$ con $\lambda \in \mathbb{R}$: 1. De la segunda ecuación: $-x + \lambda = 5 \implies \mathbf{x = \lambda - 5}$. 2. De la primera ecuación: $y - \lambda = 1 \implies \mathbf{y = 1 + \lambda}$. La solución general depende del parámetro $\lambda$. 💡 **Tip:** En un SCI, el número de parámetros necesarios es $n - rg(A)$. Aquí $3 - 2 = 1$ parámetro. ✅ **Resultado apartado c):** $$\boxed{\begin{cases} x = \lambda - 5 \\ y = 1 + \lambda \\ z = \lambda \end{cases} \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$