Análisis 2018 Valencia
Optimización del área de una cartulina con márgenes
Problema B.3. Dentro de una cartulina rectangular se desea hacer un dibujo que ocupe un rectángulo $R$ de $600\text{ cm}^2$ de área de manera que:
Por encima y por debajo de $R$ deben quedar unos márgenes de $3\text{ cm}$ de altura cada uno. Los márgenes a izquierda y a derecha de $R$ deben tener una anchura de $2\text{ cm}$ cada uno.
Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a) El área de la cartulina en función de la base $x$ del rectángulo $R$ (3 puntos).
b) El valor de $x$ para el cual el área de la cartulina es mínima (5 puntos).
c) Las dimensiones de dicha cartulina de área mínima (2 puntos).
Paso 1
Definición de variables y modelización de la función área
**a) El área de la cartulina en función de la base $x$ del rectángulo $R$ (3 puntos).**
Sea $x$ la base del rectángulo interior $R$ e $y$ su altura. El enunciado nos indica que el área de este rectángulo es de $600\text{ cm}^2$, por lo que tenemos la relación:
$$x \cdot y = 600 \implies y = \frac{600}{x}$$
Ahora determinamos las dimensiones de la cartulina completa incluyendo los márgenes:
- La base de la cartulina será la base del rectángulo $R$ más los dos márgenes laterales ($2\text{ cm}$ cada uno): $B = x + 2 + 2 = x + 4$.
- La altura de la cartulina será la altura del rectángulo $R$ más los dos márgenes superior e inferior ($3\text{ cm}$ cada uno): $H = y + 3 + 3 = y + 6$.
El área de la cartulina, $A$, es el producto de su base por su altura:
$$A(x) = (x + 4) \cdot (y + 6)$$
Sustituimos $y$ en función de $x$:
$$A(x) = (x + 4) \left( \frac{600}{x} + 6 \right) = 600 + 6x + \frac{2400}{x} + 24$$
Simplificando la expresión obtenemos la función área:
$$\boxed{A(x) = 624 + 6x + \frac{2400}{x}}$$
💡 **Tip:** El dominio de esta función en el contexto del problema es $x \gt 0$, ya que $x$ representa una longitud.
Paso 2
Cálculo del valor de x para minimizar el área
**b) El valor de $x$ para el cual el área de la cartulina es mínima (5 puntos).**
Para hallar el mínimo de la función $A(x)$, calculamos su primera derivada:
$$A'(x) = \frac{d}{dx} \left( 624 + 6x + 2400x^{-1} \right) = 6 - \frac{2400}{x^2}$$
Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos:
$$6 - \frac{2400}{x^2} = 0 \implies 6 = \frac{2400}{x^2} \implies x^2 = \frac{2400}{6} = 400$$
Como $x$ debe ser positivo, tomamos la raíz positiva:
$$x = \sqrt{400} = 20\text{ cm}$$
Para comprobar que se trata de un mínimo, estudiamos el signo de la primera derivada en torno a $x = 20$:
$$\begin{array}{c|ccc}
x & (0, 20) & 20 & (20, +\infty)\\ \hline
A'(x) & - & 0 & +\\ \hline
A(x) & \searrow & \min & \nearrow
\end{array}$$
Como la función decrece antes de $x=20$ y crece después, existe un **mínimo relativo** en $x = 20$. También podríamos usar la segunda derivada:
$$A''(x) = \frac{4800}{x^3} \implies A''(20) = \frac{4800}{8000} \gt 0 \implies \text{Mínimo}$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{x = 20\text{ cm}}$$
Paso 3
Dimensiones de la cartulina de área mínima
**c) Las dimensiones de dicha cartulina de área mínima (2 puntos).**
Una vez hallado el valor de la base del rectángulo $R$ ($x = 20$), calculamos las dimensiones totales de la cartulina utilizando las expresiones del primer paso:
1. **Base de la cartulina ($B$):**
$$B = x + 4 = 20 + 4 = 24\text{ cm}$$
2. **Altura de la cartulina ($H$):**
Primero calculamos $y$ para $x = 20$:
$$y = \frac{600}{20} = 30\text{ cm}$$
Ahora sumamos los márgenes verticales:
$$H = y + 6 = 30 + 6 = 36\text{ cm}$$
💡 **Tip:** Siempre lee bien si te piden las dimensiones del rectángulo interior o de la cartulina exterior. En este apartado se piden las dimensiones de la cartulina.
✅ **Resultado final:**
$$\boxed{\text{Base} = 24\text{ cm},\; \text{Altura} = 36\text{ cm}}$$