Geometría en el espacio: Rectas, Planos y Distancias

**a) Las ecuaciones paramétricas de la recta $r$ (3 puntos).** Para obtener las ecuaciones paramétricas, debemos resolver el sistema de ecuaciones implícitas dado. La recta viene definida por la intersección de dos planos: $$r : \begin{cases} x + y = 3 \\ x + 4y - z = 8 \end{cases}$$ Podemos expresar dos variables en función de una tercera que actuará como parámetro. Sea $y = \lambda$, donde $\lambda \in \mathbb{R}$. 1. De la primera ecuación, despejamos $x$: $$x = 3 - y \implies x = 3 - \lambda$$ 2. Sustituimos $x$ e $y$ en la segunda ecuación para despejar $z$: $$(3 - \lambda) + 4\lambda - z = 8$$ $$3 + 3\lambda - z = 8 \implies z = 3\lambda + 3 - 8 \implies z = -5 + 3\lambda$$ Por tanto, las ecuaciones paramétricas de la recta $r$ son: $$\boxed{r : \begin{cases} x = 3 - \lambda \\ y = \lambda \\ z = -5 + 3\lambda \end{cases}}$$ De aquí podemos extraer un punto $P_r(3, 0, -5)$ y un vector director $\vec{v}_r = (-1, 1, 3)$. 💡 **Tip:** Para pasar de implícitas a paramétricas, también puedes calcular el vector director mediante el producto vectorial de los vectores normales de los planos.

**b) La ecuación del plano $\pi$ que es paralelo a $r$ y pasa por los puntos $(5,0,1)$ y $(4,1,0)$ (4 puntos).** Un plano queda determinado por un punto y dos vectores directores no colineales. 1. Como el plano $\pi$ es paralelo a la recta $r$, el vector director de la recta $\vec{v}_r$ es un vector director del plano: $$\vec{u} = \vec{v}_r = (-1, 1, 3)$$ 2. El plano pasa por los puntos $A(5,0,1)$ y $B(4,1,0)$. El vector que une ambos puntos será el segundo vector director del plano: $$\vec{v} = \vec{AB} = B - A = (4 - 5, 1 - 0, 0 - 1) = (-1, 1, -1)$$ 3. Comprobamos que $\vec{u}$ y $\vec{v}$ no son proporcionales: $$\frac{-1}{-1} = \frac{1}{1} \neq \frac{3}{-1}$$ Como no son proporcionales, definen un plano. 💡 **Tip:** Dos vectores son directores de un plano si son paralelos a él y linealmente independientes.

Utilizamos el punto $A(5,0,1)$ y los vectores $\vec{u} = (-1, 1, 3)$ y $\vec{v} = (-1, 1, -1)$ para hallar la ecuación general mediante el determinante: $$\begin{vmatrix} x - 5 & -1 & -1 \\ y - 0 & 1 & 1 \\ z - 1 & 3 & -1 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos por la primera columna (o mediante la regla de Sarrus): $$(x - 5) \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} - y \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} + (z - 1) \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ $$(x - 5)(-1 - 3) - y(1 - (-3)) + (z - 1)(-1 - (-1)) = 0$$ $$(x - 5)(-4) - y(4) + (z - 1)(0) = 0$$ $$-4x + 20 - 4y = 0$$ Dividiendo toda la ecuación entre $-4$ para simplificar: $$\boxed{\pi : x + y - 5 = 0}$$ 💡 **Tip:** Siempre conviene simplificar la ecuación del plano si todos sus coeficientes son divisibles por el mismo número.

**c) La distancia entre la recta $r$ y el plano $\pi$ obtenido en el apartado anterior (3 puntos).** Dado que el plano es paralelo a la recta, la distancia de la recta al plano es constante e igual a la distancia de cualquier punto de la recta al plano. Tomamos el punto $P_r(3, 0, -5)$ de la recta $r$ y aplicamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano $\pi: Ax + By + Cz + D = 0$: $$d(r, \pi) = d(P_r, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Sustituyendo los valores de $P_r(3, 0, -5)$ y el plano $\pi : x + y - 5 = 0$ ($A=1, B=1, C=0, D=-5$): $$d(r, \pi) = \frac{|1(3) + 1(0) + 0(-5) - 5|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}}$$ $$d(r, \pi) = \frac{|3 - 5|}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{|-2|}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}}$$ Racionalizando el resultado: $$d(r, \pi) = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{d(r, \pi) = \sqrt{2} \text{ unidades}}$$ 💡 **Tip:** Si al calcular la distancia el resultado fuera $0$, significaría que la recta está contenida en el plano.