Propiedades de matrices y determinantes

**a) Dadas $A$ y $B$, matrices cuadradas del mismo orden tales que $AB = A$ y $BA = B$, deducir que $A^2 = A$ y $B^2 = B$ (4 puntos).** Para demostrar que $A^2 = A$, partimos de la definición de potencia y utilizamos las igualdades proporcionadas: 1. Sabemos que $A^2 = A \cdot A$. 2. Sustituimos la primera $A$ por la expresión dada $AB$: $$A^2 = (AB) \cdot A$$ 3. Por la propiedad asociativa del producto de matrices: $$A^2 = A \cdot (BA)$$ 4. Sustituimos la expresión del paréntesis por la condición dada $BA = B$: $$A^2 = A \cdot B$$ 5. Finalmente, como el enunciado indica que $AB = A$: $$A^2 = A$$ Realizamos el mismo razonamiento para $B$: 1. $B^2 = B \cdot B$. 2. Sustituimos la primera $B$ por $BA$: $$B^2 = (BA) \cdot B$$ 3. Aplicamos la propiedad asociativa: $$B^2 = B \cdot (AB)$$ 4. Sustituimos $AB$ por $A$: $$B^2 = B \cdot A$$ 5. Como $BA = B$, concluimos: $$B^2 = B$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto de matrices es asociativo: $(AB)C = A(BC)$, pero no necesariamente conmutativo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^2 = A \text{ y } B^2 = B}$$

**b) Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, se pide encontrar los parámetros $a, b$ para que la matriz $B = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 1 & b \end{pmatrix}$ cumpla que $B^2 = B$ pero $AB \neq A$ y $BA \neq B$ (2 puntos).** Primero, calculamos $B^2$ e igualamos a $B$: $$B^2 = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 1 & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & 0 \\ 1 & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 & 0 \\ a+b & b^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 1 & b \end{pmatrix}$$ Esto nos da el sistema: 1. $a^2 = a \implies a(a-1) = 0 \implies a=0 \text{ o } a=1$ 2. $b^2 = b \implies b(b-1) = 0 \implies b=0 \text{ o } b=1$ 3. $a + b = 1$ Analizamos las restricciones: - Si $a=1$, entonces $b=0$. Calculemos $AB$: $$AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = A$$ Como el enunciado exige $AB \neq A$, descartamos $a=1$. - Si $a=0$, entonces $b=1$. Comprobamos las condiciones: $$AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq A \quad \text{(Cumple)}$$ $$BA = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \neq B \quad \text{(Cumple, ya que } B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\text{)}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 0, b = 1}$$

**c) Sabiendo que $\begin{vmatrix} x & 1 & 0 \\ y & 2 & 1 \\ z & 3 & 2 \end{vmatrix} = 3$, obtener razonadamente el valor de los determinantes $\begin{vmatrix} 2x & 1 & 0 \\ 2y & 2 & 1 \\ 2z & 3 & 2 \end{vmatrix}$ y $\begin{vmatrix} x+1 & 1 & 0 \\ y+3 & 2 & 1 \\ z+5 & 3 & 2 \end{vmatrix}$ (4 puntos).** Para el primer determinante: $$D_1 = \begin{vmatrix} 2x & 1 & 0 \\ 2y & 2 & 1 \\ 2z & 3 & 2 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la propiedad: "Si una línea (fila o columna) de un determinante se multiplica por un número, el valor del determinante queda multiplicado por dicho número". Extraemos el factor 2 de la primera columna: $$D_1 = 2 \cdot \begin{vmatrix} x & 1 & 0 \\ y & 2 & 1 \\ z & 3 & 2 \end{vmatrix}$$ Como el determinante original vale 3: $$D_1 = 2 \cdot 3 = 6$$ 💡 **Tip:** Las propiedades de los determinantes permiten simplificar cálculos sin necesidad de conocer los valores individuales de $x, y, z$. ✅ **Resultado 1:** $$\boxed{D_1 = 6}$$

Para el segundo determinante: $$D_2 = \begin{vmatrix} x+1 & 1 & 0 \\ y+3 & 2 & 1 \\ z+5 & 3 & 2 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la propiedad: "Si una columna de un determinante es suma de dos sumandos, el determinante puede descomponerse en la suma de dos determinantes". Descomponemos la primera columna: $$D_2 = \begin{vmatrix} x & 1 & 0 \\ y & 2 & 1 \\ z & 3 & 2 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \\ 5 & 3 & 2 \end{vmatrix}$$ El primer sumando es el determinante dado, que vale 3. Calculamos el segundo determinante por la regla de Sarrus: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \\ 5 & 3 & 2 \end{vmatrix} = (1\cdot 2\cdot 2 + 1\cdot 1\cdot 5 + 0\cdot 3\cdot 3) - (5\cdot 2\cdot 0 + 3\cdot 1\cdot 1 + 2\cdot 3\cdot 1)$$ $$= (4 + 5 + 0) - (0 + 3 + 6) = 9 - 9 = 0$$ Entonces: $$D_2 = 3 + 0 = 3$$ 💡 **Tip:** También se podría observar que en el segundo determinante, la primera columna es la suma de la segunda y la tercera ($C_1 = C_2 + C_3$ si los elementos fuesen distintos, pero aquí simplemente calculando vemos que es 0). ✅ **Resultado 2:** $$\boxed{D_2 = 3}$$