Estudio de parámetros y cálculo de una integral definida

**a) La relación entre los coeficientes $a, b, c$ sabiendo que $f(x)$ toma el valor 22 cuando $x = 1$ (2 puntos).** Para que la función tome el valor 22 en $x=1$, debemos evaluar $f(1)$ e igualar el resultado a 22. Dada la función: $$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx \cos(\pi x)$$ Sustituimos $x = 1$: $$f(1) = a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) \cos(\pi \cdot 1)$$ $$f(1) = a + b + c \cos(\pi)$$ Sabemos que $\cos(\pi) = -1$, por lo tanto: $$f(1) = a + b - c$$ Como el enunciado indica que $f(1) = 22$, obtenemos la relación: $$\boxed{a + b - c = 22}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en trigonometría el valor de $\cos(\pi)$ es $-1$ y $\sin(\pi)$ es $0$.

**b) La relación que deben verificar los coeficientes $a, b$ y $c$ para que sea horizontal la recta tangente a la curva $y = f(x)$ en el punto $P$ de dicha curva, sabiendo que la abscisa del punto $P$ es $x = 1$. (4 puntos).** Para que la recta tangente sea horizontal en $x=1$, la pendiente de dicha recta debe ser cero. Esto implica que la derivada de la función evaluada en ese punto debe ser nula: $f'(1) = 0$. Calculamos primero la derivada general $f'(x)$ usando la regla de la derivada de una suma y la regla del producto para el término $cx \cos(\pi x)$: $$f'(x) = \frac{d}{dx}(ax^3) + \frac{d}{dx}(bx^2) + \frac{d}{dx}(cx \cos(\pi x))$$ $$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \cdot [1 \cdot \cos(\pi x) + x \cdot (-\pi \sin(\pi x))]$$ $$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \cos(\pi x) - c\pi x \sin(\pi x)$$ 💡 **Tip:** La regla del producto dice que $(uv)' = u'v + uv'$. Aquí $u = cx$ y $v = \cos(\pi x)$.

Evaluamos $f'(x)$ en $x=1$: $$f'(1) = 3a(1)^2 + 2b(1) + c \cos(\pi) - c\pi (1) \sin(\pi)$$ Utilizamos los valores trigonométricos conocidos: - $\cos(\pi) = -1$ - $\sin(\pi) = 0$ Sustituyendo: $$f'(1) = 3a + 2b + c(-1) - c\pi(0)$$ $$f'(1) = 3a + 2b - c$$ Para que la tangente sea horizontal, igualamos a cero: $$\boxed{3a + 2b - c = 0}$$

**c) $\int_0^1 x \cos(\pi x) dx$ (4 puntos).** Para resolver esta integral definida, utilizaremos el método de **integración por partes**. Elegimos las partes de acuerdo a la regla ALPES: - $u = x \implies du = dx$ - $dv = \cos(\pi x) dx \implies v = \int \cos(\pi x) dx = \frac{1}{\pi} \sin(\pi x)$ 💡 **Tip:** La fórmula de integración por partes es $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Es muy útil cuando tenemos un producto de un polinomio por una función trigonométrica.

Aplicamos la fórmula: $$\int x \cos(\pi x) dx = x \cdot \frac{1}{\pi} \sin(\pi x) - \int \frac{1}{\pi} \sin(\pi x) dx$$ $$\int x \cos(\pi x) dx = \frac{x}{\pi} \sin(\pi x) - \frac{1}{\pi} \left( -\frac{1}{\pi} \cos(\pi x) \right)$$ $$\int x \cos(\pi x) dx = \frac{x}{\pi} \sin(\pi x) + \frac{1}{\pi^2} \cos(\pi x)$$ Ahora aplicamos la **Regla de Barrow** entre los límites $0$ y $1$: $$I = \left[ \frac{x}{\pi} \sin(\pi x) + \frac{1}{\pi^2} \cos(\pi x) \right]_0^1$$ Calculamos los valores en los extremos: - Para $x = 1$: $\frac{1}{\pi} \sin(\pi) + \frac{1}{\pi^2} \cos(\pi) = \frac{1}{\pi}(0) + \frac{1}{\pi^2}(-1) = -\frac{1}{\pi^2}$ - Para $x = 0$: $\frac{0}{\pi} \sin(0) + \frac{1}{\pi^2} \cos(0) = 0 + \frac{1}{\pi^2}(1) = \frac{1}{\pi^2}$ Restamos los resultados: $$I = \left( -\frac{1}{\pi^2} \right) - \left( \frac{1}{\pi^2} \right) = -\frac{2}{\pi^2}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{-\frac{2}{\pi^2}}$$