Geometría en el espacio: Intersecciones, paralelismo y perpendicularidad

**a) La recta que pasa por $A$, corta a la recta $s$ y es paralela al plano $\pi$ (4 puntos).** Primero, extraemos la información de los elementos dados: - Punto $A(1, 1, 1)$. - Plano $\pi : x - y + z - 3 = 0$. Su vector normal es $\vec{n}_{\pi} = (1, -1, 1)$. - Recta $s : \begin{cases} x - 2y = 0 \\ z = 0 \end{cases}$. Para trabajar con la recta $s$, la expresamos en forma paramétrica. Si hacemos $y = \lambda$: $$s: \begin{cases} x = 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = 0 \end{cases}$$ Así, cualquier punto genérico $Q$ de la recta $s$ tiene la forma $Q(2\lambda, \lambda, 0)$. 💡 **Tip:** Parametrizar las rectas suele ser el primer paso más útil en problemas de distancias o intersecciones.

Sea $r$ la recta buscada. Como $r$ pasa por $A(1,1,1)$ y corta a $s$, debe pasar por un punto $Q \in s$. El vector director de la recta $r$ será el vector $\vec{v}_r = \vec{AQ}$. Calculamos el vector $\vec{AQ}$ en función de $\lambda$: $$\vec{AQ} = Q - A = (2\lambda - 1, \lambda - 1, 0 - 1) = (2\lambda - 1, \lambda - 1, -1)$$

Para que la recta $r$ sea paralela al plano $\pi$, su vector director $\vec{v}_r$ debe ser perpendicular al vector normal del plano $\vec{n}_{\pi} = (1, -1, 1)$. Utilizamos el producto escalar: $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_{\pi} = 0$$ $$(2\lambda - 1, \lambda - 1, -1) \cdot (1, -1, 1) = 0$$ $$(2\lambda - 1)(1) + (\lambda - 1)(-1) + (-1)(1) = 0$$ $$2\lambda - 1 - \lambda + 1 - 1 = 0$$ $$\lambda - 1 = 0 \implies \lambda = 1$$ Sustituimos $\lambda = 1$ para hallar el vector director de $r$: $$\vec{v}_r = (2(1) - 1, 1 - 1, -1) = (1, 0, -1)$$ La recta $r$ pasa por $A(1,1,1)$ con vector director $(1, 0, -1)$. Su ecuación continua es: $$\frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{0} = \frac{z-1}{-1}$$ Como el denominador en $y$ es cero, se expresa habitualmente como: $$\boxed{r : \begin{cases} x - 1 = -(z - 1) \\ y = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x + z - 2 = 0 \\ y = 1 \end{cases}}$$

**b) El plano que pasa por $A$, es perpendicular al plano $\pi$ y paralelo a la recta $s$ (3 puntos).** Sea $\alpha$ el plano buscado. Su vector normal $\vec{n}_{\alpha}$ debe ser perpendicular a dos vectores contenidos o paralelos al plano: 1. Al ser $\alpha$ perpendicular a $\pi$, el vector normal de $\pi$, $\vec{n}_{\pi} = (1, -1, 1)$, es paralelo al plano $\alpha$. 2. Al ser $\alpha$ paralelo a la recta $s$, el vector director de $s$, $\vec{v}_s = (2, 1, 0)$, es paralelo al plano $\alpha$. Por tanto, el vector normal del plano $\alpha$ se obtiene mediante el producto vectorial: $$\vec{n}_{\alpha} = \vec{n}_{\pi} \times \vec{v}_s$$

Calculamos el determinante para obtener $\vec{n}_{\alpha}$: $$\vec{n}_{\alpha} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\vec{n}_{\alpha} = (0)\mathbf{i} + (2)\mathbf{j} + (1)\mathbf{k} - (-2)\mathbf{k} - (1)\mathbf{i} - (0)\mathbf{j}$$ $$\vec{n}_{\alpha} = (0 - 1)\mathbf{i} - (0 - 2)\mathbf{j} + (1 - (-2))\mathbf{k} = (-1, 2, 3)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$ genera un vector perpendicular a ambos, ideal para hallar normales de planos.

La ecuación del plano $\alpha$ que pasa por $A(1,1,1)$ con normal $\vec{n}_{\alpha} = (-1, 2, 3)$ es: $$-1(x - 1) + 2(y - 1) + 3(z - 1) = 0$$ $$-x + 1 + 2y - 2 + 3z - 3 = 0$$ $$-x + 2y + 3z - 4 = 0$$ Multiplicando por $-1$ para simplificar: $$\boxed{\alpha : x - 2y - 3z + 4 = 0}$$

**c) Discute si el punto $(3,2,1)$ está en la recta paralela a $s$ que pasa por $(5,3,1)$ (3 puntos).** Sea $L$ la recta que pasa por $P(5, 3, 1)$ y es paralela a $s$. Como es paralela a $s$, su vector director es $\vec{v}_s = (2, 1, 0)$. La ecuación paramétrica de $L$ es: $$L : \begin{cases} x = 5 + 2k \\ y = 3 + k \\ z = 1 \end{cases}$$ Comprobamos si el punto $B(3, 2, 1)$ pertenece a $L$ sustituyendo sus coordenadas en la ecuación: 1. Para la coordenada $z$: $1 = 1$. Se cumple. 2. Para la coordenada $x$: $3 = 5 + 2k \implies 2k = -2 \implies k = -1$. 3. Para la coordenada $y$: $2 = 3 + k \implies k = 2 - 3 \implies k = -1$. Como obtenemos el mismo valor de $k = -1$ para todas las coordenadas, el punto **sí pertenece** a la recta. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El punto (3, 2, 1) sí pertenece a la recta.}}$$