Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones con parámetro

**a) Los valores del parámetro $a$ para los cuales el sistema es compatible (5 puntos).** Primero, escribimos el sistema en forma matricial $AX = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & a-1 & 1 \\ 1 & a & a-1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & a-1 & 1 & 0 \\ 1 & a & a-1 & a \end{pmatrix}$$ Para discutir el sistema según el parámetro $a$, calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & a-1 & 1 \\ 1 & a & a-1 \end{vmatrix} = [1\cdot(a-1)\cdot(a-1) + 1\cdot 1\cdot 1 + 0\cdot 0\cdot a] - [0\cdot(a-1)\cdot 1 + 1\cdot 0\cdot(a-1) + 1\cdot 1\cdot a]$$ $$|A| = (a-1)^2 + 1 - a = a^2 - 2a + 1 + 1 - a = a^2 - 3a + 2$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$a^2 - 3a + 2 = 0 \implies a = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2}$$ $$a_1 = 2, \quad a_2 = 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que un sistema es compatible si el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada (Teorema de Rouché-Frobenius).

Analizamos el sistema para los valores obtenidos: **Caso 1: $a \neq 1$ y $a \neq 2$** En este caso, $|A| \neq 0$. Por lo tanto, $\text{rang}(A) = 3$. Como el rango máximo es 3 y coincide con el número de incógnitas: $$\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 3 = n \implies \text{Sistema Compatible Determinado (SCD)}$$ **Caso 2: $a = 1$** La matriz ampliada es: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Observamos que la fila 1 y la fila 3 son idénticas ($F_1 = F_3$). Por tanto, el determinante de cualquier submatriz $3\times 3$ será cero. El $\text{rang}(A)$ es 2 ya que existe un menor no nulo: $\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$. Como $F_1 = F_3$ en $A^*$, su rango también es 2. $$\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 2 < 3 \implies \text{Sistema Compatible Indeterminado (SCI)}$$ **Caso 3: $a = 2$** La matriz ampliada es: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$ Calculamos el rango de $A^*$ tomando un menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = (2 + 0 + 0) - (1 + 0 + 0) = 1 \neq 0 \implies \text{rang}(A^*) = 3$$ Como $\text{rang}(A) = 2$ (existe el menor $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$) y $\text{rang}(A^*) = 3$: $$\text{rang}(A) \neq \text{rang}(A^*) \implies \text{Sistema Incompatible (SI)}$$ ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{\text{El sistema es compatible para } a \in \mathbb{R} \setminus \{2\}}$$

**b) Las soluciones del sistema cuando $a = 1$ (3 puntos).** Sustituimos $a = 1$ en el sistema original: $$\begin{cases} x + y = 1 \\ 0y + z = 0 \\ x + y + 0z = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x + y = 1 \\ z = 0 \end{cases}$$ Como es un Sistema Compatible Indeterminado con un grado de libertad ($n - \text{rang} = 3 - 2 = 1$), parametrizamos una de las variables. Sea $y = \lambda$: $$x + \lambda = 1 \implies x = 1 - \lambda$$ $$z = 0$$ 💡 **Tip:** Al resolver un SCI, siempre debes expresar la solución en función de tantos parámetros como indique la diferencia entre el número de incógnitas y el rango. ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{(x, y, z) = (1 - \lambda, \lambda, 0) \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$

**c) La solución del sistema cuando $a = 0$ (2 puntos).** Para $a = 0$, el sistema es Compatible Determinado. Sustituimos $a = 0$: $$\begin{cases} 1) \, x + y = 1 \\ 2) \, -y + z = 0 \\ 3) \, x - z = 0 \end{cases}$$ De la ecuación (2) obtenemos: $y = z$. De la ecuación (3) obtenemos: $x = z$. Sustituimos ambos resultados en la ecuación (1): $$z + z = 1 \implies 2z = 1 \implies z = \frac{1}{2}$$ Calculamos los valores de $x$ e $y$: $$x = z = \frac{1}{2}$$ $$y = z = \frac{1}{2}$$ Verificamos en las ecuaciones: $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ (Correcto), $-\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0$ (Correcto), $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$ (Correcto). ✅ **Resultado (c):** $$\boxed{(x, y, z) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)}$$