Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones con parámetros

**(I) Discuta el sistema anterior para los distintos valores del parámetro $c$.** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ asociadas al sistema de ecuaciones: $$A = \begin{pmatrix} c & 1 & -2 \\ c & -2 & 1 \\ -2 & 1 & c \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} c & 1 & -2 & 6 \\ c & -2 & 1 & 0 \\ -2 & 1 & c & -6 \end{pmatrix}$$ Para discutir el sistema según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, debemos estudiar el rango de estas matrices comparándolas con el número de incógnitas ($n=3$).

Calculamos el determinante de la matriz $A$ y lo igualamos a cero para encontrar los valores críticos de $c$. Aplicamos la **regla de Sarrus**: $$\det(A) = \begin{vmatrix} c & 1 & -2 \\ c & -2 & 1 \\ -2 & 1 & c \end{vmatrix}$$ $$\det(A) = (c \cdot (-2) \cdot c) + (1 \cdot 1 \cdot (-2)) + (c \cdot 1 \cdot (-2)) - [(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) + (c \cdot 1 \cdot c) + (1 \cdot 1 \cdot c)]$$ $$\det(A) = -2c^2 - 2 - 2c - [-8 + c^2 + c]$$ $$\det(A) = -2c^2 - 2 - 2c + 8 - c^2 - c = -3c^2 - 3c + 6$$ Igualamos a cero para hallar las raíces: $$-3c^2 - 3c + 6 = 0 \implies c^2 + c - 2 = 0$$ Resolviendo la ecuación de segundo grado: $$c = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$$ Obtenemos los valores críticos: **$c = 1$** y **$c = -2$**. 💡 **Tip:** Recuerda que si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, el sistema siempre será Compatible Determinado.

Si $c \neq 1$ y $c \neq -2$, entonces $\det(A) \neq 0$. Esto implica que el rango de la matriz $A$ es igual a 3. Como la matriz ampliada $A^*$ tiene dimensiones $3 \times 4$, su rango máximo también es 3, por lo que: $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3 = n \text{ (nº de incógnitas)}$$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } c \neq 1, -2, \text{ el sistema es Compatible Determinado (SCD).}}$$ Tiene una única solución.

Si **$c = -2$**, la matriz ampliada es: $$A^* = \begin{pmatrix} -2 & 1 & -2 & 6 \\ -2 & -2 & 1 & 0 \\ -2 & 1 & -2 & -6 \end{pmatrix}$$ Sabemos que $\text{rg}(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ -2 & -2 \end{vmatrix} = 4 + 2 = 6 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Ahora calculamos el rango de $A^*$. Tomamos las columnas 1, 2 y 4 para formar un menor de orden 3: $$\begin{vmatrix} -2 & 1 & 6 \\ -2 & -2 & 0 \\ -2 & 1 & -6 \end{vmatrix} = (-24 + 0 - 12) - (24 + 0 + 12) = -36 - 36 = -72 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo en $A^*$, $\text{rg}(A^*) = 3$. Como $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } c = -2, \text{ el sistema es Incompatible (SI).}} \text{ No tiene solución.}$$

Si **$c = 1$**, la matriz ampliada es: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 6 \\ 1 & -2 & 1 & 0 \\ -2 & 1 & 1 & -6 \end{pmatrix}$$ Sabemos que $\text{rg}(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -2 - 1 = -3 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Estudiamos el rango de $A^*$. Probamos con el menor formado por las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 1 & -2 & 0 \\ -2 & 1 & -6 \end{vmatrix} = (12 + 0 + 6) - (24 + 0 - 6) = 18 - 18 = 0$$ Como todos los menores de orden 3 que incluyen la columna de términos independientes son cero (puedes comprobar los demás, pero aquí se observa que la fila 3 es la combinación lineal de las otras si el sistema es compatible), concluimos que $\text{rg}(A^*) = 2$. Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 < 3$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } c = 1, \text{ el sistema es Compatible Indeterminado (SCI).}} \text{ Infinitas soluciones.}$$

**(II) Halle la solución o soluciones, si existen, cuando el parámetro $c$ es 1.** Como hemos visto, si $c = 1$, el sistema es **Compatible Indeterminado**. Al tener rango 2, el sistema es equivalente a usar solo dos ecuaciones (las que formaban nuestro menor no nulo). Usamos las dos primeras: $$\begin{cases} x + y - 2z = 6 \\ x - 2y + z = 0 \end{cases}$$ Parametrizamos haciendo **$z = \lambda$**: $$\begin{cases} x + y = 6 + 2\lambda \\ x - 2y = -\lambda \end{cases}$$ Restamos las ecuaciones para eliminar $x$: $$(x + y) - (x - 2y) = (6 + 2\lambda) - (-\lambda)$$ $$3y = 6 + 3\lambda \implies y = 2 + \lambda$$ Sustituimos $y$ en la primera ecuación: $$x + (2 + \lambda) = 6 + 2\lambda$$ $$x = 6 + 2\lambda - 2 - \lambda \implies x = 4 + \lambda$$ 💡 **Tip:** En sistemas con infinitas soluciones, siempre expresa el resultado en función de un parámetro (generalmente $\lambda$, $\mu$ o $t$). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{(x, y, z) = (4 + \lambda, 2 + \lambda, \lambda) \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$