Estudio de asíntotas y extremos relativos con parámetros

**(I) Calcule, según los valores de $a$, las asíntotas de $f(x)$.** Primero analizamos el dominio de la función $f(x) = xe^{-ax}$. Esta función es el producto de una función polinómica ($x$) y una función exponencial ($e^{-ax}$), ambas definidas para todo número real independientemente del valor de $a$. $$\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$$ Como no hay puntos donde la función no esté definida (no hay denominadores que se anulen ni raíces de índice par con radicando negativo), concluimos que **no existen asíntotas verticales**. 💡 **Tip:** Las asíntotas verticales suelen aparecer en los puntos que no pertenecen al dominio de definición de la función.

Si el parámetro $a = 0$, la función se simplifica notablemente: $$f(x) = xe^{-0 \cdot x} = x \cdot e^0 = x \cdot 1 = x$$ La función $f(x) = x$ es una recta bisectriz que crece indefinidamente hacia $\pm\infty$. Por tanto, si $a = 0$, **no existen asíntotas horizontales ni oblicuas** (es la propia recta). ✅ **Resultado para $a=0$:** $$\boxed{\text{Si } a=0, \text{ no hay asíntotas}}$$

Estudiamos el límite en el infinito cuando $a \neq 0$: **Caso 1: $a \gt 0$** - Hacia $+\infty$: $$\lim_{x \to +\infty} xe^{-ax} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^{ax}} = \left[ \frac{\infty}{\infty} \right]$$ Aplicamos la regla de L'Hôpital derivando numerador y denominador: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{ae^{ax}} = \frac{1}{\infty} = 0$$ Luego, **$y=0$ es asíntota horizontal cuando $x \to +\infty$**. - Hacia $-\infty$: $$\lim_{x \to -\infty} xe^{-ax} = (-\infty) \cdot e^{-a(-\infty)} = (-\infty) \cdot e^{\infty} = -\infty$$ No hay asíntota horizontal por la izquierda. **Caso 2: $a \lt 0$** (sea $a = -k$ con $k > 0$) - Hacia $+\infty$: $$\lim_{x \to +\infty} xe^{kx} = \infty \cdot e^{\infty} = \infty$$ - Hacia $-\infty$: $$\lim_{x \to -\infty} xe^{kx} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{e^{-kx}} = \left[ \frac{-\infty}{\infty} \right] \xrightarrow{L'H} \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{-ke^{-kx}} = \frac{1}{-\infty} = 0$$ Luego, **$y=0$ es asíntota horizontal cuando $x \to -\infty$**. 💡 **Tip:** La regla de L'Hôpital se aplica cuando tenemos indeterminaciones del tipo $\frac{\infty}{\infty}$ o $\frac{0}{0}$.

Para que exista una asíntota oblicua $y = mx + n$, el límite $m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$ debe ser un valor real no nulo. $$m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{xe^{-ax}}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} e^{-ax}$$ - Si $a > 0$, cuando $x \to -\infty$, $m = \lim_{x \to -\infty} e^{-ax} = e^{\infty} = \infty$. No hay AO. - Si $a < 0$, cuando $x \to +\infty$, $m = \lim_{x \to +\infty} e^{-ax} = e^{\infty} = \infty$. No hay AO. ✅ **Conclusión de todas las asíntotas:** $$\boxed{\begin{cases} a=0: \text{No hay asíntotas} \\ a > 0: \text{AH } y=0 \text{ en } +\infty \\ a < 0: \text{AH } y=0 \text{ en } -\infty \end{cases}}$$

**(II) Halle el valor de $a$ para que $f$ tenga en $x = 1$ un extremo relativo. ¿Es un máximo o un mínimo relativo?** Para que haya un extremo relativo en $x=1$, la derivada primera debe anularse en ese punto: $f'(1) = 0$. Calculamos la derivada de $f(x) = xe^{-ax}$ usando la regla del producto: $$f'(x) = 1 \cdot e^{-ax} + x \cdot (-a)e^{-ax} = e^{-ax}(1 - ax)$$ Igualamos a cero en $x=1$: $$f'(1) = e^{-a(1)}(1 - a(1)) = 0$$ $$e^{-a}(1 - a) = 0$$ Como la función exponencial $e^{-a}$ nunca es cero, la única posibilidad es: $$1 - a = 0 \implies a = 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que un punto sea un extremo relativo, es condición necesaria que $f'(x_0) = 0$ si la función es derivable en ese punto. ✅ **Resultado (valor de a):** $$\boxed{a = 1}$$

Para comprobar si en $x=1$ hay un máximo o un mínimo cuando $a=1$, estudiamos el signo de la primera derivada $f'(x) = e^{-x}(1 - x)$ alrededor de $x=1$. Dado que $e^{-x}$ siempre es positivo, el signo de $f'(x)$ depende únicamente del factor $(1-x)$: - Si $x < 1$, entonces $(1-x) > 0 \implies f'(x) > 0$ (la función crece). - Si $x > 1$, entonces $(1-x) < 0 \implies f'(x) < 0$ (la función decrece). **Tabla de monotonía para $a=1$:** $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,1) & 1 & (1,+\infty)\\\hline f'(x) & + & 0 & -\\\hline f(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ Como la función pasa de crecer a decrecer en $x=1$, se trata de un **máximo relativo**. ✅ **Resultado (tipo de extremo):** $$\boxed{\text{Es un máximo relativo}}$$