Geometría en el espacio: planos, distancias y simetría

**(I) Determine la ecuación del plano que contiene al punto $P$ y es perpendicular a la recta $r$.** Para hallar un plano $\pi$ perpendicular a una recta $r$, el vector director de la recta $\vec{v}_r$ debe ser el vector normal del plano $\vec{n}_\pi$. Extraemos la información de la recta $r$ en sus ecuaciones paramétricas: - Punto de la recta: $Q_r = (2, 1, 0)$ - Vector director: $\vec{v}_r = (-1, 1, 2)$ Por tanto, el vector normal del plano es $\vec{n}_\pi = (-1, 1, 2)$. 💡 **Tip:** Si un plano es perpendicular a una recta, su vector normal es directamente el vector director de dicha recta: $\vec{n}_\pi = \vec{v}_r$.

La ecuación general de un plano es $Ax + By + Cz + D = 0$, donde $(A, B, C)$ son las componentes del vector normal. Sustituimos $\vec{n}_\pi = (-1, 1, 2)$: $$-1x + 1y + 2z + D = 0 \implies -x + y + 2z + D = 0.$$ Como el plano contiene al punto $P(1, 2, -2)$, este debe verificar la ecuación: $$-(1) + (2) + 2(-2) + D = 0 \implies -1 + 2 - 4 + D = 0 \implies -3 + D = 0 \implies D = 3.$$ La ecuación del plano es $-x + y + 2z + 3 = 0$, o multiplicando por $-1$: ✅ **Resultado (Plano):** $$\boxed{x - y - 2z - 3 = 0}$$

**(II) Determine el punto de $r$ más próximo a $P$.** El punto de una recta $r$ más próximo a un punto exterior $P$ es la proyección ortogonal de $P$ sobre $r$. Este punto coincidirá con la intersección de la recta $r$ y el plano $\pi$ perpendicular a ella que pasa por $P$ (calculado en el apartado anterior). Sustituimos las expresiones paramétricas de $r$ en la ecuación del plano $\pi: x - y - 2z - 3 = 0$: $$(2 - \lambda) - (1 + \lambda) - 2(2\lambda) - 3 = 0$$ $$2 - \lambda - 1 - \lambda - 4\lambda - 3 = 0$$ $$-6\lambda - 2 = 0 \implies -6\lambda = 2 \implies \lambda = -\frac{1}{3}.$$ Sustituimos el valor de $\lambda$ en la recta $r$ para hallar el punto $M$: $$x = 2 - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{7}{3}$$ $$y = 1 + \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3}$$ $$z = 2\left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{2}{3}$$ 💡 **Tip:** El punto más cercano es siempre el "pie de la perpendicular". Geométricamente, es el único punto donde el vector $\vec{PM}$ es perpendicular al vector $\vec{v}_r$. ✅ **Resultado (Punto más próximo):** $$\boxed{M\left(\frac{7}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{2}{3}\right)}$$

**(III) Halle la recta $r'$ simétrica de $r$ respecto al punto $P$.** La simetría respecto a un punto $P$ (simetría central) transforma cada punto $X$ de la recta $r$ en un punto $X'$ tal que $P$ es el punto medio del segmento $XX'$. Esto implica que: 1. La recta simétrica $r'$ será paralela a $r$, por lo que tendrá el mismo vector director: $\vec{v}_{r'} = \vec{v}_r = (-1, 1, 2)$. 2. Debemos hallar el simétrico de un punto cualquiera de $r$ respecto a $P$. Tomamos $Q_r = (2, 1, 0)$. Sea $Q'$ el simétrico de $Q_r$ respecto a $P$. Entonces: $$P = \frac{Q_r + Q'}{2} \implies Q' = 2P - Q_r$$ $$Q' = 2(1, 2, -2) - (2, 1, 0) = (2, 4, -4) - (2, 1, 0) = (0, 3, -4).$$ 💡 **Tip:** En una simetría respecto a un punto, las rectas se transforman en rectas paralelas. Solo necesitas calcular el simétrico de un punto para definir la nueva recta.

Con el punto $Q'(0, 3, -4)$ y el vector director $\vec{v}_r = (-1, 1, 2)$, escribimos la ecuación de la recta $r'$ en forma paramétrica (usando un parámetro distinto, por ejemplo $\mu$): $$\begin{cases} x = 0 - \mu \\ y = 3 + \mu \\ z = -4 + 2\mu \end{cases}$$ ✅ **Resultado (Recta simétrica):** $$\boxed{r' : \begin{cases} x = -\mu \\ y = 3 + \mu \\ z = -4 + 2\mu \end{cases}}$$