Probabilidad y Estadística 2018 La Rioja
Probabilidad de embarazo y fiabilidad del test
1.- (2 puntos) Una mujer, que sospecha estar embarazada, acude a la consulta del médico. Al examinarla cuidadosamente, el médico cree que está embarazada con una probabilidad de 0,6. Para confirmar el diagnóstico, el médico encarga un test que da negativo en el 4% de los casos que la mujer está realmente embarazada. Mientras que el test da positivo en el 5% de los casos en los que la mujer no está embarazada. Calcule la probabilidad de que:
(I) El test dé positivo.
(II) La mujer esté embarazada sabiendo que el test da positivo.
Paso 1
Definición de sucesos y construcción del árbol de probabilidad
**(I) El test dé positivo.**
Primero, definimos los sucesos que intervienen en el problema para organizar la información:
- $E$: La mujer está embarazada.
- $\bar{E}$: La mujer no está embarazada.
- $T+$: El test da un resultado positivo.
- $T-$: El test da un resultado negativo.
A partir del enunciado, extraemos los datos de probabilidad:
- $P(E) = 0,6 \implies P(\bar{E}) = 1 - 0,6 = 0,4$
- $P(T-|E) = 0,04 \implies P(T+|E) = 1 - 0,04 = 0,96$
- $P(T+|\bar{E}) = 0,05 \implies P(T-|\bar{E}) = 1 - 0,05 = 0,95$
Representamos estos datos en un árbol de probabilidad:
💡 **Tip:** En los árboles de probabilidad, la suma de las probabilidades de las ramas que salen de un mismo nodo siempre debe ser 1.
Paso 2
Cálculo de la probabilidad total de test positivo
Para calcular la probabilidad de que el test dé positivo, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. El suceso $T+$ puede ocurrir de dos formas: que esté embarazada y el test sea positivo, o que no esté embarazada y el test sea positivo.
$$P(T+) = P(E) \cdot P(T+|E) + P(\bar{E}) \cdot P(T+|\bar{E})$$
Sustituimos los valores obtenidos del árbol:
$$P(T+) = 0,6 \cdot 0,96 + 0,4 \cdot 0,05$$
$$P(T+) = 0,576 + 0,020 = 0,596$$
✅ **Resultado (I):**
$$\boxed{P(T+) = 0,596}$$
💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso depende de varios casos previos que forman una partición del espacio muestral.
Paso 3
Cálculo de la probabilidad condicionada (Teorema de Bayes)
**(II) La mujer esté embarazada sabiendo que el test da positivo.**
Se nos pide calcular una probabilidad a posteriori, es decir, la probabilidad de la causa (estar embarazada) dado el efecto (test positivo). Para ello utilizamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(E|T+) = \frac{P(E \cap T+)}{P(T+)} = \frac{P(E) \cdot P(T+|E)}{P(T+)}$$
Utilizamos los valores calculados anteriormente:
- Numerador (Probabilidad de estar embarazada y test positivo): $0,6 \cdot 0,96 = 0,576$
- Denominador (Probabilidad total de test positivo): $0,596$
$$P(E|T+) = \frac{0,576}{0,596}$$
Calculamos el resultado final aproximando a cuatro decimales:
$$P(E|T+) \approx 0,9664$$
✅ **Resultado (II):**
$$\boxed{P(E|T+) = 0,9664}$$
💡 **Tip:** Recuerda que $P(A|B)$ representa la probabilidad de que ocurra $A$ dado que ya sabemos que ha ocurrido $B$.