Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**(I) Discuta el sistema anterior para los distintos valores del parámetro $c$.** Comenzamos escribiendo el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ es la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} c & 1 & -2 \\ c & -2 & 1 \\ -2 & 1 & c \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} c & 1 & -2 & 6 \\ c & -2 & 1 & 0 \\ -2 & 1 & c & -6 \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema según el Teorema de Rouché-Frobenius, calcularemos el determinante de la matriz $A$ para ver cuándo su rango es máximo (3). 💡 **Tip:** El rango de la matriz de coeficientes nos indica si el sistema puede ser determinado, indeterminado o incompatible al compararlo con el rango de la ampliada.

Aplicamos la regla de Sarrus para calcular $|A|$: $$|A| = \begin{vmatrix} c & 1 & -2 \\ c & -2 & 1 \\ -2 & 1 & c \end{vmatrix}$$ $$|A| = [c \cdot (-2) \cdot c + 1 \cdot 1 \cdot (-2) + (-2) \cdot c \cdot 1] - [(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) + 1 \cdot c \cdot c + 1 \cdot 1 \cdot c]$$ $$|A| = [-2c^2 - 2 - 2c] - [-8 + c^2 + c]$$ $$|A| = -2c^2 - 2c - 2 + 8 - c^2 - c = -3c^2 - 3c + 6$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos de $c$: $$-3c^2 - 3c + 6 = 0 \implies c^2 + c - 2 = 0$$ Resolviendo la ecuación de segundo grado: $$c = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$$ Obtenemos los valores **$c = 1$** y **$c = -2$**.

Si $c \neq 1$ y $c \neq -2$, entonces el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero ($|A| \neq 0$). En este caso: - $\text{rango}(A) = 3$ - $\text{rango}(A^*) = 3$ (ya que no puede ser mayor que el número de columnas y ya contiene a $A$) - Número de incógnitas $n = 3$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, al ser $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = n = 3$, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, lo que significa que tiene una **solución única**. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } c \neq 1, -2 \implies \text{SCD (Solución única)}}$$

Sustituimos $c = -2$ en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -2 & 1 & -2 & 6 \\ -2 & -2 & 1 & 0 \\ -2 & 1 & -2 & -6 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rango}(A) \lt 3$. Observamos que hay un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ -2 & -2 \end{vmatrix} = 4 + 2 = 6 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Ahora estudiamos el rango de $A^*$. Tomamos el menor de orden 3 formado por las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} -2 & 1 & 6 \\ -2 & -2 & 0 \\ -2 & 1 & -6 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos (por ejemplo, restando la fila 1 a la fila 3): $F_3 - F_1 \to F_3$ $$\begin{vmatrix} -2 & 1 & 6 \\ -2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -12 \end{vmatrix} = -12 \cdot \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ -2 & -2 \end{vmatrix} = -12 \cdot (4 + 2) = -72 \neq 0$$ Como $\text{rango}(A) = 2$ y $\text{rango}(A^*) = 3$, los rangos son distintos. Por el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Incompatible (SI)**. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } c = -2 \implies \text{SI (No tiene solución)}}$$

Sustituimos $c = 1$ en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -2 & 6 \\ 1 & -2 & 1 & 0 \\ -2 & 1 & 1 & -6 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A| = 0$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -2 - 1 = -3 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Comprobamos el rango de $A^*$ viendo si el menor de orden 3 con la columna de términos independientes es cero: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 1 & -2 & 0 \\ -2 & 1 & -6 \end{vmatrix}$$ Sumamos la fila 1 a la fila 3 ($F_3 + F_1 \to F_3$): $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 1 & -2 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la tercera columna: $$6 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 6 \cdot (2 - 2) = 0$$ Al ser todos los menores de orden 3 nulos, $\text{rango}(A^*) = 2$. Como $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2 \lt n = 3$, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } c = 1 \implies \text{SCI (Infinitas soluciones)}}$$

**(II) Halle la solución o soluciones, si existen, cuando el parámetro $c$ es 1.** Como hemos visto, para $c=1$ el sistema es Compatible Indeterminado. Podemos descartar la tercera ecuación ya que es combinación lineal de las otras dos ($F_3 = -F_1 - F_2$): $$\begin{cases} x + y - 2z = 6 \\ x - 2y + z = 0 \end{cases}$$ Para resolverlo, parametrizamos una de las variables, por ejemplo **$z = \lambda$**: $$\begin{cases} x + y = 6 + 2\lambda \\ x - 2y = -\lambda \end{cases}$$ Restamos las ecuaciones ($E_1 - E_2$): $$(x + y) - (x - 2y) = (6 + 2\lambda) - (-\lambda)$$ $$3y = 6 + 3\lambda \implies y = 2 + \lambda$$ Sustituimos $y$ en la primera ecuación: $$x + (2 + \lambda) = 6 + 2\lambda \implies x = 4 + \lambda$$ 💡 **Tip:** No olvides indicar que $\lambda$ puede ser cualquier número real ($\lambda \in \mathbb{R}$). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{cases} x = 4 + \lambda \\ y = 2 + \lambda \\ z = \lambda \end{cases} \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$