Estudio de asíntotas y extremos relativos de una función con parámetro

**(I) Calcule, según los valores de $a$, las asíntotas de $f(x)$.** Primero, analizamos el dominio de la función $f(x) = xe^{-ax}$. Esta función es el producto de una función polinómica ($x$) y una función exponencial ($e^{-ax}$), ambas definidas y continuas para todo $x \in \mathbb{R}$. Por tanto, el dominio es: $$\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$$ Como la función es continua en todo su dominio y no hay puntos donde el denominador se anule (la exponencial nunca es cero), concluimos que **no existen asíntotas verticales** para ningún valor de $a$. 💡 **Tip:** Las asíntotas verticales suelen aparecer en puntos donde la función no está definida, como los ceros de un denominador en funciones racionales. $$\boxed{\text{No hay asíntotas verticales para ningún } a \in \mathbb{R}}$$

Si $a = 0$, la función se convierte en: $$f(x) = x \cdot e^{0} = x \cdot 1 = x$$ En este caso, la función es una recta bisectriz del primer y tercer cuadrante. No tiene asíntotas horizontales porque: $$\lim_{x \to \pm \infty} x = \pm \infty$$ Sin embargo, se puede decir que la propia recta $y = x$ es su propia **asíntota oblicua** (con $m=1$ y $n=0$). ✅ **Resultado para $a=0$:** $$\boxed{\text{Si } a=0, \text{ no hay AH ni AV. AO: } y=x}$$

Estudiamos el comportamiento en el infinito según el signo de $a$: **Caso 1: $a > 0$** - Cuando $x \to +\infty$: $$\lim_{x \to +\infty} x e^{-ax} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^{ax}} = \left[ \frac{\infty}{\infty} \right]$$ Aplicamos la regla de **L'Hôpital**: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{a e^{ax}} = \frac{1}{\infty} = 0$$ Hay una **asíntota horizontal $y = 0$** cuando $x \to +\infty$. - Cuando $x \to -\infty$: $$\lim_{x \to -\infty} x e^{-ax} = (-\infty) \cdot e^{+\infty} = -\infty$$ No hay asíntota horizontal por la izquierda. Tampoco hay oblicua porque el crecimiento exponencial es más rápido que el lineal. **Caso 2: $a < 0$** - Cuando $x \to +\infty$: $$\lim_{x \to +\infty} x e^{-ax} = (+\infty) \cdot e^{+\infty} = +\infty$$ (No hay AH). - Cuando $x \to -\infty$ (Sea $a = -k$ con $k > 0$): $$\lim_{x \to -\infty} x e^{kx} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{e^{-kx}} = \left[ \frac{-\infty}{\infty} \right]$$ Aplicamos **L'Hôpital**: $$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{-k e^{-kx}} = \frac{1}{-\infty} = 0$$ Hay una **asíntota horizontal $y = 0$** cuando $x \to -\infty$. 💡 **Tip:** Recuerda que L'Hôpital se aplica cuando tenemos indeterminaciones del tipo $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$. ✅ **Resultado (I):** $$\boxed{\begin{cases} a > 0: \text{AH } y=0 \text{ en } +\infty \\ a < 0: \text{AH } y=0 \text{ en } -\infty \\ a = 0: \text{AO } y=x \end{cases}}$$

**(II) Halle el valor de $a$ para que $f$ tenga en $x = 1$ un extremo relativo. ¿Es un máximo o un mínimo relativo?** Para que haya un extremo relativo en $x = 1$, la primera derivada debe ser cero en ese punto: $f'(1) = 0$. Calculamos $f'(x)$ usando la regla del producto: $$f(x) = x e^{-ax}$$ $$f'(x) = 1 \cdot e^{-ax} + x \cdot (-a)e^{-ax} = e^{-ax}(1 - ax)$$ Igualamos a cero en $x = 1$: $$f'(1) = e^{-a(1)}(1 - a(1)) = 0$$ $$e^{-a}(1 - a) = 0$$ Como la función exponencial $e^{-a}$ nunca es cero, la única posibilidad es: $$1 - a = 0 \implies a = 1$$ ✅ **Valor del parámetro:** $$\boxed{a = 1}$$

Para determinar si es un máximo o un mínimo con $a = 1$, usamos el criterio de la segunda derivada o estudiamos el signo de la primera derivada. Si $a=1$, la derivada es $f'(x) = e^{-x}(1 - x)$. Calculamos la segunda derivada: $$f''(x) = -e^{-x}(1 - x) + e^{-x}(-1) = e^{-x}(-1 + x - 1) = e^{-x}(x - 2)$$ Evaluamos en $x = 1$: $$f''(1) = e^{-1}(1 - 2) = -\frac{1}{e}$$ Como $f''(1) < 0$, la función presenta un **máximo relativo** en $x = 1$. **Tabla de monotonía para confirmar:** $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 1) & 1 & (1, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - \\ \text{Comportamiento} & \text{Creciente} (\nearrow) & \text{Máximo} & \text{Decreciente} (\searrow) \end{array}$$ 💡 **Tip:** Criterio de la segunda derivada: Si $f'(c)=0$ y $f''(c) < 0$, hay un máximo relativo. Si $f''(c) > 0$, hay un mínimo relativo. ✅ **Resultado (II):** $$\boxed{a=1, \text{ es un máximo relativo}}$$