Producción frutícola y Distribución Normal

En primer lugar, definimos la variable aleatoria que describe el problema: $X =$ "producción por árbol en kilogramos (kg)". El enunciado nos indica que esta variable sigue una **distribución normal**, por lo que anotamos sus parámetros: - Media: $\mu = 54,3$ - Desviación típica: $\sigma = 6,5$ Por tanto, $X \sim N(54,3; \, 6,5)$. Para poder utilizar las tablas de la distribución normal estándar, necesitaremos realizar la **tipificación** de la variable mediante la fórmula: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 54,3}{6,5}$$ 💡 **Tip:** La distribución normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ es la que aparece en las tablas de probabilidad. Tipificar nos permite transformar cualquier normal en esta para calcular áreas bajo la curva.

**1. ¿Cuál es el porcentaje de árboles que producen más de 57 kg?** Queremos calcular la probabilidad $P(X \gt 57)$. Pasamos a la variable tipificada $Z$: $$P(X \gt 57) = P\left(Z \gt \frac{57 - 54,3}{6,5}\right) = P\left(Z \gt \frac{2,7}{6,5}\right) \approx P(Z \gt 0,42)$$ Como las tablas suelen ofrecer la probabilidad acumulada hacia la izquierda, $P(Z \le z)$, aplicamos la propiedad del suceso complementario: $$P(Z \gt 0,42) = 1 - P(Z \le 0,42)$$ Buscando en la tabla de la normal $N(0,1)$ el valor $0,42$ (fila $0,4$ y columna $0,02$), obtenemos $0,6628$. $$P(X \gt 57) = 1 - 0,6628 = 0,3372$$ Para expresarlo en porcentaje, multiplicamos por 100: ✅ **Resultado:** $$\boxed{33,72\%}$$

**2. ¿Qué porcentaje de árboles producen entre 50 y 57 kg?** Buscamos el valor de la probabilidad $P(50 \le X \le 57)$. Tipificamos ambos límites: - Para $x = 50 \implies z_1 = \frac{50 - 54,3}{6,5} = \frac{-4,3}{6,5} \approx -0,66$ - Para $x = 57 \implies z_2 = \frac{57 - 54,3}{6,5} = \frac{2,7}{6,5} \approx 0,42$ Entonces: $$P(50 \le X \le 57) = P(-0,66 \le Z \le 0,42)$$ Usamos la propiedad $P(a \le Z \le b) = P(Z \le b) - P(Z \le a)$: $$P(Z \le 0,42) - P(Z \le -0,66)$$ Para el valor negativo, recordamos que $P(Z \le -z) = 1 - P(Z \le z)$: $$P(Z \le 0,42) - [1 - P(Z \le 0,66)]$$ Consultamos la tabla: - $P(Z \le 0,42) = 0,6628$ - $P(Z \le 0,66) = 0,7454$ Operamos: $$0,6628 - (1 - 0,7454) = 0,6628 - 0,2546 = 0,4082$$ Convertimos a porcentaje: ✅ **Resultado:** $$\boxed{40,82\%}$$

**3. Si se escoge al azar un árbol que está dentro del 70% de los árboles que menos producen, ¿a lo sumo cuántos kilogramos debería producir?** Nos piden hallar un valor $k$ tal que la probabilidad de que un árbol produzca $k$ o menos sea del $70\%$, es decir, $0,70$. Matemáticamente: $$P(X \le k) = 0,70$$ Tipificamos la expresión: $$P\left(Z \le \frac{k - 54,3}{6,5}\right) = 0,70$$ Llamamos $z_0 = \frac{k - 54,3}{6,5}$. Buscamos en el interior de la tabla de la normal el valor de probabilidad más cercano a $0,70$. Observamos que: - Para $z = 0,52 \implies P(Z \le 0,52) = 0,6985$ - Para $z = 0,53 \implies P(Z \le 0,53) = 0,7019$ El valor más aproximado es $z_0 \approx 0,52$ (o $0,524$ si interpolamos, pero usaremos $0,52$ por la tabla simplificada típica). Igualamos y despejamos $k$: $$\frac{k - 54,3}{6,5} = 0,52$$ $$k - 54,3 = 0,52 \cdot 6,5$$ $$k - 54,3 = 3,38$$ $$k = 54,3 + 3,38 = 57,68 \text{ kg}$$ 💡 **Tip:** En este caso buscamos la probabilidad *dentro* de la tabla para encontrar el valor de $z$ en los márgenes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{57,68 \text{ kg}}$$