Ángulo entre vectores y vector unitario perpendicular

**(I) Demuestre que el ángulo entre los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ es mayor que $90^\circ$.** Para determinar si el ángulo $\alpha$ entre dos vectores es mayor de $90^\circ$ (obtuso), estudiamos el signo de su **producto escalar**. Recordamos que la relación entre el producto escalar y el ángulo es: $$\cos(\alpha) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$$ Como los módulos $|\vec{u}|$ y $|\vec{v}|$ son siempre positivos, el signo de $\cos(\alpha)$ dependerá exclusivamente del signo de $\vec{u} \cdot \vec{v}$: - Si $\vec{u} \cdot \vec{v} \gt 0$, el ángulo es agudo ($\alpha \lt 90^\circ$). - Si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$, el ángulo es recto ($\alpha = 90^\circ$). - Si $\vec{u} \cdot \vec{v} \lt 0$, el ángulo es obtuso ($\alpha \gt 90^\circ$). Calculamos el producto escalar de $\vec{u} = (-1, 4, 8)$ y $\vec{v} = (1, 2, -2)$: $$\vec{u} \cdot \vec{v} = (-1) \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 8 \cdot (-2)$$ $$\vec{u} \cdot \vec{v} = -1 + 8 - 16 = -9$$ Como $\vec{u} \cdot \vec{v} = -9 \lt 0$, entonces $\cos(\alpha) \lt 0$, lo que implica que el ángulo es obtuso. 💡 **Tip:** No es necesario calcular el valor exacto del ángulo, basta con comprobar que el producto escalar es negativo para asegurar que $\alpha \gt 90^\circ$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\vec{u} \cdot \vec{v} = -9 \lt 0 \implies \alpha \gt 90^\circ}$$

**(II) Calcule un vector perpendicular a $\vec{u}$ y $\vec{v}$ que tenga módulo 1.** Para obtener un vector perpendicular simultáneamente a $\vec{u}$ y $\vec{v}$, calculamos su **producto vectorial** $\vec{w} = \vec{u} \times \vec{v}$. Planteamos el determinante con los vectores unitarios canónicos $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$: $$\vec{w} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 4 & 8 \\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix}$$ Resolvemos desarrollando por la primera fila (o mediante la regla de Sarrus): $$\vec{w} = \vec{i} \begin{vmatrix} 4 & 8 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} -1 & 8 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}$$ $$\vec{w} = [4(-2) - 8(2)]\vec{i} - [(-1)(-2) - 8(1)]\vec{j} + [(-1)(2) - 4(1)]\vec{k}$$ $$\vec{w} = (-8 - 16)\vec{i} - (2 - 8)\vec{j} + (-2 - 4)\vec{k}$$ $$\vec{w} = -24\vec{i} + 6\vec{j} - 6\vec{k}$$ Por lo tanto, un vector perpendicular a ambos es: $$\vec{w} = (-24, 6, -6)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial siempre genera un vector perpendicular a los dos vectores originales.

El enunciado nos pide que el vector tenga **módulo 1** (vector unitario). Para ello, dividimos el vector $\vec{w}$ entre su propio módulo. Primero, calculamos el módulo de $\vec{w} = (-24, 6, -6)$: $$|\vec{w}| = \sqrt{(-24)^2 + 6^2 + (-6)^2} = \sqrt{576 + 36 + 36} = \sqrt{648}$$ Simplificamos la raíz: $$\sqrt{648} = \sqrt{324 \cdot 2} = 18\sqrt{2}$$ El vector unitario $\vec{n}$ será: $$\vec{n} = \frac{\vec{w}}{|\vec{w}|} = \frac{1}{18\sqrt{2}} (-24, 6, -6) = \left( \frac{-24}{18\sqrt{2}}, \frac{6}{18\sqrt{2}}, \frac{-6}{18\sqrt{2}} \right)$$ Simplificando las fracciones: $$\vec{n} = \left( -\frac{4}{3\sqrt{2}}, \frac{1}{3\sqrt{2}}, -\frac{1}{3\sqrt{2}} \right)$$ Racionalizando (multiplicando por $\sqrt{2}/\sqrt{2}$): $$\vec{n} = \left( -\frac{4\sqrt{2}}{6}, \frac{\sqrt{2}}{6}, -\frac{\sqrt{2}}{6} \right) = \left( -\frac{2\sqrt{2}}{3}, \frac{\sqrt{2}}{6}, -\frac{\sqrt{2}}{6} \right)$$ 💡 **Tip:** Existen dos soluciones posibles, $\vec{n}$ y $-\vec{n}$, ya que ambos son unitarios y perpendiculares a los vectores dados. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\vec{n} = \left( -\frac{2\sqrt{2}}{3}, \frac{\sqrt{2}}{6}, -\frac{\sqrt{2}}{6} \right)}$$