Posición relativa de dos rectas y vectores perpendiculares

**(I) Determine la posición relativa de las rectas $r$ y $s$.** Para estudiar la posición relativa, primero extraemos un punto $P_r$ y un vector director $\vec{v_r}$ de la recta $r$, que viene dada en su forma implícita como intersección de dos planos. El vector director se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales de los planos: $$\vec{n_1} = (1, -1, 2), \quad \vec{n_2} = (1, -1, -5)$$ $$\vec{v_r} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & -5 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\vec{v_r} = [(-1)(-5) - (2)(-1)]\vec{i} - [(1)(-5) - (2)(1)]\vec{j} + [(1)(-1) - (-1)(1)]\vec{k}$$ $$\vec{v_r} = (5 + 2)\vec{i} - (-5 - 2)\vec{j} + (-1 + 1)\vec{k} = (7, 7, 0)$$ Podemos simplificar el vector director dividiendo por 7: **$\vec{v_r} = (1, 1, 0)$**. Para hallar un punto $P_r$, restamos las dos ecuaciones del sistema: $$(x - y + 2z) - (x - y - 5z) = 7 - (-7) \implies 7z = 14 \implies z = 2$$ Sustituyendo $z=2$ en la primera ecuación: $x - y + 4 = 7 \implies x - y = 3$. Si hacemos $y = 0$, entonces $x = 3$. El punto es **$P_r(3, 0, 2)$**. 💡 **Tip:** El vector director de una recta dada por dos planos es siempre perpendicular a ambos vectores normales, por eso usamos el producto vectorial.

La recta $s$ está definida por sus ecuaciones paramétricas: $$s : \begin{cases} x = 3 + 2t \\ y = 1 + t \\ z = 1 \end{cases}$$ De aquí extraemos directamente: - Un vector director: **$\vec{v_s} = (2, 1, 0)$**. - Un punto de la recta (para $t=0$): **$P_s(3, 1, 1)$**. 💡 **Tip:** En las ecuaciones paramétricas, los coeficientes del parámetro $t$ forman el vector director, y los términos independientes forman el punto.

Comparamos los vectores directores $\vec{v_r} = (1, 1, 0)$ y $\vec{v_s} = (2, 1, 0)$. Como sus componentes no son proporcionales ($\frac{1}{2} \neq \frac{1}{1}$), las rectas **no son paralelas ni coincidentes**. Por tanto, o se cortan en un punto o se cruzan en el espacio. Para distinguirlo, calculamos el vector que une un punto de cada recta: $$\vec{P_rP_s} = (3-3, 1-0, 1-2) = (0, 1, -1)$$ Calculamos el determinante formado por los tres vectores ($[\vec{v_r}, \vec{v_s}, \vec{P_rP_s}]$): $$\text{det} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = 1(-1) - 1(-2) = -1 + 2 = 1$$ Como el determinante es distinto de cero ($1 \neq 0$), los tres vectores son linealmente independientes. Esto significa que las rectas no están en el mismo plano. ✅ **Resultado (Posición relativa):** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cruzan}}$$

**(II) Halle, utilizando parámetros, todos los vectores perpendiculares a $r$.** Sea $\vec{w} = (x, y, z)$ un vector genérico del espacio. Para que sea perpendicular a la recta $r$, su producto escalar con el vector director $\vec{v_r} = (1, 1, 0)$ debe ser cero: $$\vec{w} \cdot \vec{v_r} = 0 \implies (x, y, z) \cdot (1, 1, 0) = 0$$ $$x + y = 0 \implies y = -x$$ La variable $z$ no aparece en la ecuación, lo que significa que puede tomar cualquier valor. Por tanto, tenemos un sistema con dos grados de libertad. Definimos los parámetros: - Sea $x = \lambda$ - Sea $z = \mu$ Entonces, los componentes del vector son: $$x = \lambda, \quad y = -\lambda, \quad z = \mu$$ 💡 **Tip:** Un vector perpendicular a una recta vive en el subespacio ortogonal a su vector director. Como estamos en $\mathbb{R}^3$ y tenemos una restricción, el resultado es un plano de vectores.

Cualquier vector $\vec{w}$ perpendicular a $r$ se puede escribir como: $$\vec{w} = (\lambda, -\lambda, \mu) = \lambda(1, -1, 0) + \mu(0, 0, 1)$$ con $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$. ✅ **Resultado (Vectores perpendiculares):** $$\boxed{\vec{w} = (\lambda, -\lambda, \mu) \quad \forall \lambda, \mu \in \mathbb{R}}$$