Probabilidad de retraso de vuelos

Primero, definimos los sucesos del problema basándonos en los periodos del día y si el vuelo sufre retraso o no: - $M$: El vuelo llega por la **mañana**. - $T$: El vuelo llega por la **tarde**. - $N$: El vuelo llega por la **noche**. - $R$: El vuelo llega con **retraso**. - $\bar{R}$: El vuelo **no llega con retraso** (suceso contrario). Calculamos el número total de vuelos: $$\text{Total} = 140 + 200 + 40 = 380$$ Ahora determinamos las probabilidades de cada periodo: - $P(M) = \dfrac{140}{380} = \dfrac{7}{19}$ - $P(T) = \dfrac{200}{380} = \dfrac{10}{19}$ - $P(N) = \dfrac{40}{380} = \dfrac{2}{19}$ Las probabilidades condicionadas de retraso según el enunciado son: - $P(R|M) = 2\% = 0,02 \implies P(\bar{R}|M) = 0,98$ - $P(R|T) = 4\% = 0,04 \implies P(\bar{R}|T) = 0,96$ - $P(R|N) = 6\% = 0,06 \implies P(\bar{R}|N) = 0,94$ Representamos esta información en un árbol de probabilidad:

**(I) Calcule la probabilidad de que no se retrase un vuelo con destino a ese aeropuerto.** Para calcular la probabilidad de que un vuelo no se retrase, $P(\bar{R})$, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Sumamos las probabilidades de no retrasarse en cada una de las franjas horarias: $$P(\bar{R}) = P(M) \cdot P(\bar{R}|M) + P(T) \cdot P(\bar{R}|T) + P(N) \cdot P(\bar{R}|N)$$ Sustituimos los valores obtenidos anteriormente: $$P(\bar{R}) = \left( \frac{140}{380} \cdot 0,98 \right) + \left( \frac{200}{380} \cdot 0,96 \right) + \left( \frac{40}{380} \cdot 0,94 \right)$$ Realizamos las operaciones: $$P(\bar{R}) = \frac{137,2}{380} + \frac{192}{380} + \frac{37,6}{380} = \frac{366,8}{380}$$ $$P(\bar{R}) = \frac{3668}{3800} = \frac{917}{950} \approx 0,9653$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de los sucesos que forman una partición (Mañana, Tarde, Noche) debe ser 1. ✅ **Resultado (I):** $$\boxed{P(\bar{R}) \approx 0,9653}$$ (o de forma exacta $\frac{917}{950}$)

**(II) Si un vuelo llegó con retraso a este aeropuerto, ¿cuál es la probabilidad de que fuera un vuelo de la tarde?** Nos piden una probabilidad a posteriori, es decir, sabiendo que ocurrió un retraso ($R$), ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la tarde ($T$)? Aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(T|R) = \frac{P(T \cap R)}{P(R)} = \frac{P(T) \cdot P(R|T)}{P(R)}$$ Primero, calculamos $P(R)$. Podemos hacerlo como el complementario de $P(\bar{R})$ calculado en el apartado anterior: $$P(R) = 1 - P(\bar{R}) = 1 - \frac{366,8}{380} = \frac{380 - 366,8}{380} = \frac{13,2}{380}$$ Ahora, calculamos el numerador $P(T \cap R)$: $$P(T \cap R) = P(T) \cdot P(R|T) = \frac{200}{380} \cdot 0,04 = \frac{8}{380}$$ Sustituimos en la fórmula de Bayes: $$P(T|R) = \frac{\frac{8}{380}}{\frac{13,2}{380}} = \frac{8}{13,2}$$ Simplificamos la fracción: $$P(T|R) = \frac{80}{132} = \frac{20}{33} \approx 0,6061$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes siempre relaciona la probabilidad de una causa (tarde) dado un efecto observado (retraso). ✅ **Resultado (II):** $$\boxed{P(T|R) = \frac{20}{33} \approx 0,6061}$$