Límites con raíces y parámetros. Derivada de una función radical

**(I) Halle, si existe, el valor de $a$ para el cual $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{9x^2 + ax + 1} - (3x - 1)) = 2$.** Primero, analizamos el tipo de límite cuando $x \to +\infty$: $$\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{9x^2 + ax + 1} - (3x - 1)) = [\infty - \infty]$$ Para resolver esta indeterminación de resta de raíces (o raíz menos polinomio), multiplicamos y dividimos por la expresión conjugada: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt{9x^2 + ax + 1} - (3x - 1))(\sqrt{9x^2 + ax + 1} + (3x - 1))}{\sqrt{9x^2 + ax + 1} + (3x - 1)}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el conjugado de $(A - B)$ es $(A + B)$, y su producto es una diferencia de cuadrados: $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$.

Aplicamos la diferencia de cuadrados en el numerador: $$(\sqrt{9x^2 + ax + 1})^2 - (3x - 1)^2 = (9x^2 + ax + 1) - (9x^2 - 6x + 1)$$ Simplificamos los términos: $$9x^2 + ax + 1 - 9x^2 + 6x - 1 = ax + 6x = (a + 6)x$$ Ahora el límite queda: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{(a + 6)x}{\sqrt{9x^2 + ax + 1} + (3x - 1)}$$ Dividimos todos los términos por la máxima potencia de $x$ del denominador (que es $x^1$, ya que $\sqrt{x^2} = x$): $$\lim_{x \to +\infty} \frac{(a + 6)}{\frac{\sqrt{9x^2 + ax + 1}}{x} + \frac{3x - 1}{x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{a + 6}{\sqrt{9 + \frac{a}{x} + \frac{1}{x^2}} + 3 - \frac{1}{x}}$$ Al aplicar el límite cuando $x \to +\infty$, los términos con $x$ en el denominador tienden a $0$: $$\frac{a + 6}{\sqrt{9 + 0 + 0} + 3 - 0} = \frac{a + 6}{3 + 3} = \frac{a + 6}{6}$$

Según el enunciado, el valor de este límite debe ser igual a $2$. Por lo tanto, planteamos la ecuación: $$\frac{a + 6}{6} = 2$$ Resolviendo para $a$: $$a + 6 = 12 \implies a = 12 - 6 = 6$$ ✅ **Resultado (valor de a):** $$\boxed{a = 6}$$

**(II) Determine, si existe, $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{9x^2 + 12x + 1})'$, donde $(\sqrt{9x^2 + 12x + 1})'$ representa la derivada de $\sqrt{9x^2 + 12x + 1}$.** Primero, calculamos la derivada de la función $f(x) = \sqrt{9x^2 + 12x + 1}$ utilizando la regla de la cadena: Si $f(x) = \sqrt{u(x)}$, entonces $f'(x) = \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$. En este caso, $u(x) = 9x^2 + 12x + 1$, por lo que $u'(x) = 18x + 12$. Así: $$f'(x) = \frac{18x + 12}{2\sqrt{9x^2 + 12x + 1}}$$ Podemos simplificar dividiendo entre $2$: $$f'(x) = \frac{9x + 6}{\sqrt{9x^2 + 12x + 1}}$$ 💡 **Tip:** Para derivar una raíz cuadrada, puedes verla como una potencia: $(u^{1/2})' = \frac{1}{2} u^{-1/2} \cdot u'$.

Calculamos el límite cuando $x \to +\infty$ de la derivada hallada: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{9x + 6}{\sqrt{9x^2 + 12x + 1}}$$ Observamos que el grado del numerador es $1$ y el grado del denominador también es $1$ (pues $\sqrt{x^2} = x$). Dividimos por $x$: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{9x}{x} + \frac{6}{x}}{\sqrt{\frac{9x^2}{x^2} + \frac{12x}{x^2} + \frac{1}{x^2}}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{9 + \frac{6}{x}}{\sqrt{9 + \frac{12}{x} + \frac{1}{x^2}}}$$ Al aplicar el límite: $$\frac{9 + 0}{\sqrt{9 + 0 + 0}} = \frac{9}{\sqrt{9}} = \frac{9}{3} = 3$$ ✅ **Resultado (límite de la derivada):** $$\boxed{3}$$