Rango de una matriz y propiedades de los determinantes

**(I) Determine el rango de la matriz $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ -1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix}$.** Para determinar el rango de la matriz $A$, empezamos calculando su determinante. Si el determinante de una matriz $3 \times 3$ es distinto de cero, su rango es $3$. Calculamos $|A|$ aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 4 \\ -1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \end{vmatrix} = (2 \cdot 0 \cdot 2) + (3 \cdot 1 \cdot 2) + (4 \cdot (-1) \cdot 2) - [ (4 \cdot 0 \cdot 2) + (3 \cdot (-1) \cdot 2) + (2 \cdot 1 \cdot 2) ]$$ Operamos los productos: $$|A| = (0 + 6 - 8) - (0 - 6 + 4) = -2 - (-2) = -2 + 2 = 0$$ Como el determinante es **$0$**, el rango de la matriz no puede ser $3$. El rango será al menos $1$ porque hay elementos distintos de cero en la matriz. 💡 **Tip:** El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo. Si el determinante total es cero, buscamos menores de orden inferior.

Para comprobar si el rango es $2$, buscamos un menor de orden $2$ (un subdeterminante $2 \times 2$) que sea distinto de cero. Tomamos, por ejemplo, el menor formado por las dos primeras filas y columnas: $$\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = (2 \cdot 0) - (3 \cdot (-1)) = 0 + 3 = 3 \neq 0$$ Al haber encontrado un menor de orden $2$ distinto de cero, podemos afirmar que las dos primeras filas son linealmente independientes. ✅ **Resultado (Rango):** $$\boxed{\text{rg}(A) = 2}$$

**(II) Sabiendo que $\begin{vmatrix} a & b & c \\ -1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \end{vmatrix} = 2$, calcule $D = \begin{vmatrix} -2 & 0 & 2 \\ a & b & c \\ a - 4 & b - 4 & c - 4 \end{vmatrix}$.** Vamos a transformar el determinante pedido utilizando las propiedades de los determinantes para que se parezca al dato que nos dan. En primer lugar, observamos la primera fila $F_1 = (-2, 0, 2)$. Podemos extraer el factor común **$2$** de esta fila: $$D = 2 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 0 & 1 \\ a & b & c \\ a - 4 & b - 4 & c - 4 \end{vmatrix}$$ 💡 **Tip:** Propiedad: Si todos los elementos de una línea de un determinante se multiplican por un número, el determinante queda multiplicado por dicho número.

Ahora nos fijamos en la tercera fila $F_3 = (a-4, b-4, c-4)$. Podemos descomponer el determinante en la suma de dos determinantes basándonos en que esta fila es una resta de dos términos: $$D = 2 \cdot \left( \begin{vmatrix} -1 & 0 & 1 \\ a & b & c \\ a & b & c \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} -1 & 0 & 1 \\ a & b & c \\ 4 & 4 & 4 \end{vmatrix} \right)$$ Analizamos el primer determinante: tiene las filas $F_2$ y $F_3$ iguales. Por las propiedades de los determinantes, **un determinante con dos filas iguales es $0$**. $$D = 2 \cdot \left( 0 - \begin{vmatrix} -1 & 0 & 1 \\ a & b & c \\ 4 & 4 & 4 \end{vmatrix} \right) = -2 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 0 & 1 \\ a & b & c \\ 4 & 4 & 4 \end{vmatrix}$$ 💡 **Tip:** Otra forma de verlo es aplicar la operación elemental $F_3 \to F_3 - F_2$ para eliminar las variables en la última fila.

Para llegar a la forma del determinante enunciado, extraemos factor común **$2$** de la tercera fila $F_3 = (4, 4, 4)$: $$D = -2 \cdot 2 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 0 & 1 \\ a & b & c \\ 2 & 2 & 2 \end{vmatrix} = -4 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 0 & 1 \\ a & b & c \\ 2 & 2 & 2 \end{vmatrix}$$ Ahora, comparamos con el dato del enunciado $\begin{vmatrix} a & b & c \\ -1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \end{vmatrix} = 2$. Vemos que las filas $F_1$ y $F_2$ están intercambiadas. Al intercambiar dos filas, el determinante **cambia de signo**: $$\begin{vmatrix} -1 & 0 & 1 \\ a & b & c \\ 2 & 2 & 2 \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} a & b & c \\ -1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \end{vmatrix} = -2$$ Sustituimos este valor en nuestra expresión de $D$: $$D = -4 \cdot (-2) = 8$$ ✅ **Resultado (Valor del determinante):** $$\boxed{8}$$