Posición relativa de dos rectas y vectores perpendiculares

**(I) Determine la posición relativa de las rectas $r$ y $s$.** Para estudiar la posición relativa, primero necesitamos un punto $P_r$ y un vector director $\vec{v_r}$ de la recta $r$. Como $r$ viene dada por la intersección de dos planos, el vector director se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos: $$\vec{n_1} = (1, -1, 2), \quad \vec{n_2} = (1, -1, -5)$$ $$\vec{v_r} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & -5 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{v_r} = [(-1)(-5)\vec{i} + (2)(1)\vec{j} + (1)(-1)\vec{k}] - [(-1)(1)\vec{k} + (2)(-1)\vec{i} + (1)(-5)\vec{j}]$$ $$\vec{v_r} = (5\vec{i} + 2\vec{j} - \vec{k}) - (-\vec{k} - 2\vec{i} - 5\vec{j}) = 7\vec{i} + 7\vec{j} + 0\vec{k} = (7, 7, 0)$$ Podemos simplificar el vector director dividiendo por 7: **$\vec{v_r} = (1, 1, 0)$**. Para el punto $P_r$, resolvemos el sistema restando las ecuaciones: $$(x - y + 2z) - (x - y - 5z) = 7 - (-7) \implies 7z = 14 \implies z = 2$$ Sustituimos $z=2$ en la primera ecuación: $$x - y + 2(2) = 7 \implies x - y = 3$$ Si hacemos $y = 0$, entonces $x = 3$. Por tanto: **$P_r(3, 0, 2)$**. 💡 **Tip:** El vector director de una recta expresada como intersección de planos es siempre perpendicular a ambos vectores normales.

La recta $s$ ya viene dada en forma paramétrica: $$s : \begin{cases} x = 3 + 2t \\ y = 1 + t \\ z = 1 \end{cases}$$ De aquí extraemos directamente: - Vector director: **$\vec{v_s} = (2, 1, 0)$**. - Punto de la recta: **$P_s(3, 1, 1)$**. Observamos que los vectores directores $\vec{v_r}=(1, 1, 0)$ y $\vec{v_s}=(2, 1, 0)$ **no son proporcionales** ($1/2 \neq 1/1$), por lo que las rectas no pueden ser ni paralelas ni coincidentes. Por tanto, las rectas **se cortan o se cruzan**.

Para distinguir si se cortan o se cruzan, calculamos el determinante formado por $\vec{v_r}$, $\vec{v_s}$ y el vector que une ambos puntos $\vec{P_rP_s}$. $$\vec{P_rP_s} = P_s - P_r = (3 - 3, 1 - 0, 1 - 2) = (0, 1, -1)$$ Calculamos el determinante: $$|M| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la tercera columna (que tiene dos ceros): $$|M| = (-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = (-1) \cdot (1 - 2) = (-1) \cdot (-1) = 1$$ Como el determinante es **distinto de cero** ($|M| \neq 0$), los tres vectores son linealmente independientes. Esto significa que las rectas no están en el mismo plano. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cruzan en el espacio.}}$$

**(II) Halle, utilizando parámetros, todos los vectores perpendiculares a $r$.** Un vector $\vec{u} = (x, y, z)$ es perpendicular a la recta $r$ si su producto escalar con el vector director de la recta $\vec{v_r} = (1, 1, 0)$ es cero: $$\vec{u} \cdot \vec{v_r} = 0 \implies (x, y, z) \cdot (1, 1, 0) = 0$$ $$x + y = 0$$ De esta ecuación obtenemos que $x = -y$. Tenemos una ecuación y tres incógnitas, por lo que necesitamos **dos parámetros** (llamémosles $\lambda$ y $\mu$) para describir todos los vectores posibles: Si asignamos $y = \lambda$ y $z = \mu$, entonces $x = -\lambda$. Los vectores buscados son de la forma: $$\vec{u} = (-\lambda, \lambda, \mu) \quad \text{con } \lambda, \mu \in \mathbb{R}$$ O de forma equivalente, separando los parámetros: $$\vec{u} = \lambda(-1, 1, 0) + \mu(0, 0, 1)$$ 💡 **Tip:** Cualquier vector que sea combinación lineal de estos dos será perpendicular a $r$. Fíjate que $(0,0,1)$ es perpendicular porque $r$ es horizontal respecto al plano $z$ ($v_z=0$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\vec{u} = (-\lambda, \lambda, \mu) \quad \forall \lambda, \mu \in \mathbb{R}}$$