Probabilidad total y Teorema de Bayes: Retrasos de vuelos

En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el problema basándonos en el momento del día y en si el vuelo sufre un retraso: - $M$: El vuelo llega por la mañana. - $T$: El vuelo llega por la tarde. - $N$: El vuelo llega por la noche. - $R$: El vuelo llega con retraso. - $\bar{R}$: El vuelo no llega con retraso. Calculamos el número total de vuelos para obtener las probabilidades de cada franja horaria: $$\text{Total de vuelos} = 140 + 200 + 40 = 380$$ Las probabilidades iniciales son: - $P(M) = \dfrac{140}{380} = \dfrac{7}{19}$ - $P(T) = \dfrac{200}{380} = \dfrac{10}{19}$ - $P(N) = \dfrac{40}{380} = \dfrac{2}{19}$ Las probabilidades condicionadas de retraso (según el enunciado) son: - $P(R|M) = 0.02 \implies P(\bar{R}|M) = 0.98$ - $P(R|T) = 0.04 \implies P(\bar{R}|T) = 0.96$ - $P(R|N) = 0.06 \implies P(\bar{R}|N) = 0.94$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de los sucesos que forman un sistema completo ($M, T, N$) debe ser $1$.

Representamos la situación mediante un árbol de probabilidad para visualizar mejor los caminos:

**(I) Calcule la probabilidad de que no se retrase un vuelo con destino a ese aeropuerto.** Para calcular la probabilidad de que un vuelo no se retrase, $P(\bar{R})$, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Un vuelo no se retrasa si llega por la mañana y no se retrasa, O por la tarde y no se retrasa, O por la noche y no se retrasa: $$P(\bar{R}) = P(M) \cdot P(\bar{R}|M) + P(T) \cdot P(\bar{R}|T) + P(N) \cdot P(\bar{R}|N)$$ Sustituimos los valores: $$P(\bar{R}) = \left( \frac{140}{380} \right) \cdot 0.98 + \left( \frac{200}{380} \right) \cdot 0.96 + \left( \frac{40}{380} \right) \cdot 0.94$$ Operamos: $$P(\bar{R}) = \frac{140 \cdot 0.98 + 200 \cdot 0.96 + 40 \cdot 0.94}{380}$$ $$P(\bar{R}) = \frac{137.2 + 192 + 37.6}{380} = \frac{366.8}{380}$$ Calculando el valor decimal: $$P(\bar{R}) \approx 0.9653$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{R}) = \frac{917}{950} \approx 0.9653}$$

**(II) Si un vuelo llegó con retraso a este aeropuerto, ¿cuál es la probabilidad de que fuera un vuelo de la tarde?** En este apartado nos piden una probabilidad a posteriori, es decir, el **Teorema de Bayes**. Queremos calcular $P(T|R)$. La fórmula de Bayes es: $$P(T|R) = \frac{P(T \cap R)}{P(R)} = \frac{P(T) \cdot P(R|T)}{P(R)}$$ Primero necesitamos $P(R)$. Como sabemos que $P(\bar{R}) + P(R) = 1$: $$P(R) = 1 - P(\bar{R}) = 1 - \frac{366.8}{380} = \frac{13.2}{380}$$ Ahora calculamos el numerador $P(T \cap R)$: $$P(T) \cdot P(R|T) = \frac{200}{380} \cdot 0.04 = \frac{8}{380}$$ Sustituimos en la fórmula de Bayes: $$P(T|R) = \frac{\frac{8}{380}}{\frac{13.2}{380}} = \frac{8}{13.2}$$ Multiplicamos por 10 para eliminar decimales: $$P(T|R) = \frac{80}{132}$$ Simplificamos la fracción dividiendo entre 4: $$P(T|R) = \frac{20}{33} \approx 0.6061$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes siempre relaciona la probabilidad de una 'causa' (Tarde) dado un 'efecto' observado (Retraso). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(T|R) = \frac{20}{33} \approx 0.6061}$$