Asíntotas, integral y raíces de una función trigonométrica

**(I) Determine, si existen, las asíntotas oblicuas de $f$.** Una asíntota oblicua tiene la forma $y = mx + n$. Para hallar la pendiente $m$, calculamos el límite: $$m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2 - \cos x - 3x}{x}$$ Dividimos cada término por $x$: $$m = \lim_{x \to \pm\infty} \left( \frac{2}{x} - \frac{\cos x}{x} - 3 \right)$$ Evaluamos los límites individuales: - $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2}{x} = 0$ - $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{\cos x}{x} = 0$ (ya que es un valor acotado entre $[-1, 1]$ dividido por algo que tiende a infinito). Por tanto: $$m = 0 - 0 - 3 = -3$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\frac{\text{acotado}}{\infty} = 0$. El coseno siempre oscila entre $-1$ y $1$.

Ahora intentamos calcular $n$ mediante el límite: $$n = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \pm\infty} (2 - \cos x - 3x - (-3x))$$ Simplificamos la expresión: $$n = \lim_{x \to \pm\infty} (2 - \cos x)$$ Este límite **no existe**, ya que la función $\cos x$ oscila indefinidamente entre $-1$ y $1$ cuando $x$ tiende a infinito. Por tanto, el valor de $n$ no es un número real definido. 💡 **Tip:** Para que exista una asíntota oblicua, tanto $m$ como $n$ deben ser números reales finitos.

Al no existir el límite para calcular $n$, concluimos que la función no tiene asíntota oblicua (ni horizontal, ya que $m \neq 0$ y $n$ no existe). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No existen asíntotas oblicuas}}$$

**(II) Calcule $\int f(x) \cos x \, dx$.** Sustituimos $f(x)$ en la integral y distribuimos el producto: $$I = \int (2 - \cos x - 3x) \cos x \, dx = \int (2\cos x - \cos^2 x - 3x \cos x) \, dx$$ Por la propiedad de linealidad, separamos en tres integrales: $$I = 2\int \cos x \, dx - \int \cos^2 x \, dx - 3\int x \cos x \, dx$$ 💡 **Tip:** La integral de una suma es la suma de las integrales. Resolveremos cada parte por separado.

1. **Primera integral:** $$2\int \cos x \, dx = 2\sin x$$ 2. **Segunda integral (usando identidad trigonométrica $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$):** $$\int \cos^2 x \, dx = \int \frac{1 + \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin(2x)$$ 3. **Tercera integral (Integración por partes $\int u \, dv = uv - \int v \, du$):** Sea $u = x \implies du = dx$ Sea $dv = \cos x \, dx \implies v = \sin x$ $$\int x \cos x \, dx = x\sin x - \int \sin x \, dx = x\sin x - (-\cos x) = x\sin x + \cos x$$ 💡 **Tip:** Para integrar potencias pares de seno o coseno, siempre es útil usar las fórmulas del ángulo doble.

Combinamos todos los resultados obtenidos en el paso anterior: $$I = 2\sin x - \left( \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin(2x) \right) - 3(x\sin x + \cos x) + C$$ Agrupamos y simplificamos: $$I = 2\sin x - \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin(2x) - 3x\sin x - 3\cos x + C$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\int f(x)\cos x \, dx = (2-3x)\sin x - 3\cos x - \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C}$$

**(III) Demuestre que la función $f(x)$ solo corta una vez el eje horizontal.** Primero demostramos que existe **al menos** una raíz usando el **Teorema de Bolzano**. La función $f(x) = 2 - \cos x - 3x$ es continua en todo $\mathbb{R}$. Evaluamos en dos puntos: - $f(0) = 2 - \cos(0) - 3(0) = 2 - 1 - 0 = 1 > 0$ - $f(\pi) = 2 - \cos(\pi) - 3\pi = 2 - (-1) - 3\pi = 3 - 3\pi \approx -6.42 < 0$ Como $f(x)$ es continua y cambia de signo en el intervalo $[0, \pi]$, por el Teorema de Bolzano existe al menos un $c \in (0, \pi)$ tal que $f(c) = 0$. 💡 **Tip:** El Teorema de Bolzano garantiza existencia si hay continuidad y cambio de signo.

Para demostrar que es la **única** raíz, estudiamos la derivada de la función: $$f'(x) = \frac{d}{dx}(2 - \cos x - 3x) = \sin x - 3$$ Sabemos que la función seno está acotada: $-1 \le \sin x \le 1$. Si restamos 3 en toda la desigualdad: $$-1 - 3 \le \sin x - 3 \le 1 - 3 \implies -4 \le f'(x) \le -2$$ Esto implica que **$f'(x) < 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$**. Como la derivada es siempre negativa, la función es **estrictamente decreciente** en todo su dominio. Una función estrictamente monótona solo puede cruzar el eje horizontal una vez. 💡 **Tip:** Si una función es siempre creciente o siempre decreciente, no puede volver a cruzar el eje $X$, lo que garantiza que la raíz es única. ✅ **Conclusión:** $$\boxed{\text{La función corta exactamente una vez al eje horizontal por Bolzano y monotonía estricta}}$$