Inversa de una matriz y sistema de ecuaciones matriciales

**1. Calcule, si existe, la inversa de $A$.** Para que una matriz $A$ tenga inversa ($A^{-1}$), su determinante debe ser distinto de cero ($|A| \neq 0$). Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, calculamos su determinante: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 6 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1) - (6 \cdot 0) = 1 - 0 = 1.$$ Como $|A| = 1 \neq 0$, la matriz **$A$ es invertible**. 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. En matrices de orden 2, el determinante es $ad - bc$.

Utilizamos el método de la matriz adjunta para hallar $A^{-1}$: $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A^t)$$ 1. Calculamos la traspuesta de $A$: $$A^t = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 6 & 1 \end{pmatrix}$$ 2. Calculamos la matriz adjunta de la traspuesta: - Adjunto $(1,1) = +|1| = 1$ - Adjunto $(1,2) = -|6| = -6$ - Adjunto $(2,1) = -|0| = 0$ - Adjunto $(2,2) = +|1| = 1$ Por tanto, $\text{Adj}(A^t) = \begin{pmatrix} 1 & -6 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. 3. Obtenemos la inversa: $$A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 1 & -6 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -6 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (matriz inversa):** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -6 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}$$

**2. Halle las matrices $X$ e $Y$ que son soluciones del sistema $$AX + BY = 3I,$$ $$AX - BY = I.$$** Podemos resolver este sistema utilizando el método de reducción, sumando y restando las ecuaciones como si fueran escalares. Sumamos ambas ecuaciones: $$(AX + BY) + (AX - BY) = 3I + I$$ $$2AX = 4I \implies AX = 2I$$ Restamos la segunda a la primera: $$(AX + BY) - (AX - BY) = 3I - I$$ $$2BY = 2I \implies BY = I$$ 💡 **Tip:** En sistemas de ecuaciones matriciales, puedes operar con las ecuaciones sumándolas o restándolas siempre que las dimensiones coincidan.

Partimos de la ecuación $AX = 2I$. Para despejar $X$, multiplicamos por la izquierda por $A^{-1}$: $$A^{-1}(AX) = A^{-1}(2I)$$ $$IX = 2(A^{-1}I)$$ $$X = 2A^{-1}$$ Sustituyendo el valor de $A^{-1}$ hallado en el apartado anterior: $$X = 2 \begin{pmatrix} 1 & -6 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -12 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (matriz X):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 2 & -12 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}}$$

Para hallar $Y$ de la ecuación $BY = I$, necesitamos $B^{-1}$. Calculamos el determinante de $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$: $$|B| = (1 \cdot 0) - (1 \cdot 1) = -1$$ Calculamos su adjunta por el método de los cofactores: - $B^t = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ (En este caso $B = B^t$) - Adjunto $(1,1) = 0$ - Adjunto $(1,2) = -1$ - Adjunto $(2,1) = -1$ - Adjunto $(2,2) = 1$ $$B^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Al multiplicar una matriz por un escalar negativo, todos los elementos de la matriz cambian de signo.

A partir de la ecuación $BY = I$, despejamos $Y$ multiplicando por la izquierda por $B^{-1}$: $$B^{-1}(BY) = B^{-1}I$$ $$IY = B^{-1}$$ $$Y = B^{-1}$$ Sustituimos el valor calculado anteriormente: $$Y = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (matriz Y):** $$\boxed{Y = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}}$$