Suma de progresiones aritméticas

Para calcular $P$, que es la suma de todos los números pares menores que 1001, identificamos primero los elementos que componen dicha suma. Los números pares menores que 1001 forman una progresión aritmética (P.A.) donde: - El primer término es $a_1 = 2$. - El último término es $a_n = 1000$. - La diferencia es $d = 2$. Calculamos el número de términos ($n$) usando la fórmula del término general de una P.A.: $$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$$ $$1000 = 2 + (n - 1) \cdot 2$$ $$998 = (n - 1) \cdot 2 \implies n - 1 = 499 \implies n = 500$$ Hay **500 números pares** en el rango indicado. 💡 **Tip:** Una progresión aritmética es una sucesión en la que cada término se obtiene sumando al anterior una cantidad fija llamada diferencia ($d$).

Utilizamos la fórmula de la suma de los $n$ primeros términos de una progresión aritmética: $$S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$$ Sustituimos los valores obtenidos para $P$: $$P = \frac{(2 + 1000) \cdot 500}{2}$$ $$P = \frac{1002 \cdot 500}{2} = 1002 \cdot 250$$ $$P = 250500$$ $$\boxed{P = 250500}$$

$T$ es la suma de todos los múltiplos de 3 menores que 1001. Estos números también forman una progresión aritmética: - El primer término es $b_1 = 3$. - El último término menor que 1001 que es múltiplo de 3 es $b_m = 999$ (ya que $9+9+9=27$, divisible por 3). - La diferencia es $d = 3$. Calculamos el número de términos ($m$): $$b_m = b_1 + (m - 1) \cdot d$$ $$999 = 3 + (m - 1) \cdot 3$$ $$996 = (m - 1) \cdot 3 \implies m - 1 = 332 \implies m = 333$$ Hay **333 múltiplos de 3** menores que 1001.

Aplicamos de nuevo la fórmula de la suma para $T$: $$T = \frac{(b_1 + b_m) \cdot m}{2}$$ $$T = \frac{(3 + 999) \cdot 333}{2}$$ $$T = \frac{1002 \cdot 333}{2} = 501 \cdot 333$$ Realizamos la operación: $$T = 166833$$ $$\boxed{T = 166833}$$

Finalmente, restamos los dos valores obtenidos para hallar el resultado solicitado por el enunciado: $$P - T = 250500 - 166833$$ Calculamos la resta: $$P - T = 83667$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{P - T = 83667}$$