Análisis 2018 Pais Vasco
Área entre curvas exponenciales
Ejercicio B4
Representar el recinto del plano limitado por las curvas $y = e^x$, $y = e^{-x}$ y por la recta $x = 1$. Calcular su área.
Paso 1
Cálculo de los puntos de corte entre las funciones
Para representar el recinto y determinar los límites de integración, primero buscamos el punto donde las dos curvas se cortan igualando sus expresiones:
$$e^x = e^{-x}$$
Como las bases son iguales, igualamos los exponentes:
$$x = -x \implies 2x = 0 \implies x = 0.$$
Para $x = 0$, la ordenada es $y = e^0 = 1$. Por tanto, las curvas se cortan en el punto **$(0, 1)$**.
💡 **Tip:** Recuerda que para hallar la intersección de dos funciones $f(x)$ y $g(x)$, siempre debemos resolver la ecuación $f(x) = g(x)$.
Paso 2
Representación gráfica del recinto
El recinto está limitado por:
1. La curva $y = e^x$ (función exponencial creciente).
2. La curva $y = e^{-x}$ (función exponencial decreciente).
3. La recta vertical $x = 1$.
En el intervalo $[0, 1]$, observamos que $e^x \ge e^{-x}$ ya que la primera crece a partir de $1$ y la segunda decrece a partir de $1$.
Representamos el recinto a continuación:
"interactive": {
"kind": "desmos",
"data": {
"expressions": [
{
"id": "f",
"latex": "y=e^x",
"color": "#2563eb"
},
{
"id": "g",
"latex": "y=e^{-x}",
"color": "#ef4444"
},
{
"id": "linea",
"latex": "x=1",
"color": "#111827",
"lineStyle": "DASHED"
},
{
"id": "area",
"latex": "e^{-x} \\le y \\le e^x \\{0 \\le x \\le 1\\}",
"color": "#93c5fd"
}
],
"bounds": {
"left": -0.5,
"right": 1.5,
"bottom": -0.5,
"top": 3
}
}
}
Paso 3
Planteamiento de la integral del área
El área $A$ del recinto limitado por dos funciones $f(x)$ y $g(x)$ en un intervalo $[a, b]$ viene dada por la integral de la función "techo" menos la función "suelo".
En nuestro caso, el intervalo es $[0, 1]$, la función superior es $y = e^x$ y la inferior es $y = e^{-x}$:
$$A = \int_{0}^{1} (e^x - e^{-x}) \, dx$$
💡 **Tip:** El límite inferior de integración es $x=0$ (punto de corte) y el superior es $x=1$ (recta dada).
Paso 4
Cálculo de la integral y aplicación de la Regla de Barrow
Calculamos la integral indefinida:
$$\int (e^x - e^{-x}) \, dx = e^x - (-e^{-x}) = e^x + e^{-x}.$$
Ahora aplicamos la **Regla de Barrow** evaluando en los límites $0$ y $1$:
$$A = \left[ e^x + e^{-x} \right]_{0}^{1}$$
$$A = (e^1 + e^{-1}) - (e^0 + e^{-0})$$
$$A = e + \frac{1}{e} - (1 + 1)$$
$$A = e + \frac{1}{e} - 2 \text{ unidades}^2$$
Si queremos una aproximación decimal:
$$A \approx 2,7182 + 0,3678 - 2 = 1,086 \text{ u}^2.$$
✅ **Resultado final:**
$$\boxed{A = e + e^{-1} - 2 \text{ u}^2}$$
💡 **Tip:** No olvides que el área siempre debe ser un valor positivo. Si el resultado fuera negativo, es probable que hayas intercambiado las funciones techo y suelo.