Estudio de asíntotas, monotonía y extremos de una función racional

**a) Hallar las asíntotas de $f$.** Primero, determinamos el dominio de la función $f(x) = \frac{x^2 - 3}{x^2 - 4}$. Al ser una función racional, el dominio está formado por todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador: $$x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$$ Por tanto, $\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$. Para comprobar si hay asíntotas verticales en estos puntos, calculamos los límites laterales: Para $x = -2$: $$\lim_{x \to -2} \frac{x^2 - 3}{x^2 - 4} = \frac{(-2)^2 - 3}{(-2)^2 - 4} = \frac{1}{0} = \pm \infty$$ Para $x = 2$: $$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 3}{x^2 - 4} = \frac{2^2 - 3}{2^2 - 4} = \frac{1}{0} = \pm \infty$$ 💡 **Tip:** Si el límite de una función en un punto da como resultado $\frac{k}{0}$ (con $k \neq 0$), existe una asíntota vertical en ese punto. ✅ **Resultado (Asíntotas Verticales):** $$\boxed{x = -2 \text{ y } x = 2}$$

Buscamos la asíntota horizontal calculando el límite cuando $x \to \pm\infty$: $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 3}{x^2 - 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2/x^2 - 3/x^2}{x^2/x^2 - 4/x^2} = \frac{1 - 0}{1 - 0} = 1$$ Al ser un límite finito, existe una asíntota horizontal. Como existe asíntota horizontal, **no hay asíntota oblicua** (ya que la función es racional y el grado del numerador no es exactamente una unidad mayor que el del denominador). 💡 **Tip:** Una función racional tiene asíntota horizontal $y=L$ si el grado del numerador es menor o igual al del denominador. Si son iguales, $L$ es el cociente de los coeficientes principales. ✅ **Resultado (Asíntota Horizontal):** $$\boxed{y = 1}$$

**b) Hallar los intervalos donde es creciente y donde es decreciente.** Para estudiar la monotonía, calculamos la derivada de la función $f(x) = \frac{x^2 - 3}{x^2 - 4}$ utilizando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(x^2 - 3)'(x^2 - 4) - (x^2 - 3)(x^2 - 4)'}{(x^2 - 4)^2}$$ $$f'(x) = \frac{2x(x^2 - 4) - (x^2 - 3)(2x)}{(x^2 - 4)^2}$$ Simplificamos el numerador: $$f'(x) = \frac{2x^3 - 8x - (2x^3 - 6x)}{(x^2 - 4)^2} = \frac{2x^3 - 8x - 2x^3 + 6x}{(x^2 - 4)^2} = \frac{-2x}{(x^2 - 4)^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $(u/v)' = (u'v - uv')/v^2$. En este tipo de funciones, el denominador al cuadrado siempre es positivo en el dominio, por lo que el signo de $f'(x)$ dependerá solo del numerador. $$\boxed{f'(x) = \frac{-2x}{(x^2 - 4)^2}}$$

Para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, buscamos los puntos críticos donde $f'(x) = 0$ y tenemos en cuenta los puntos donde la función no está definida ($x = \pm 2$): $$-2x = 0 \implies x = 0$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por estos puntos: $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, -2) & -2 & (-2, 0) & 0 & (0, 2) & 2 & (2, +\infty) \\ \hline -2x & + & \nexists & + & 0 & - & \nexists & - \\ (x^2-4)^2 & + & \nexists & + & + & + & \nexists & + \\ \hline f'(x) & + & \nexists & + & 0 & - & \nexists & - \\ monotonía & \text{Creciente} & \nexists & \text{Creciente} & \text{Máx} & \text{Decreciente} & \nexists & \text{Decreciente} \end{array}$$ ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Creciente en: } (-\infty, -2) \cup (-2, 0) \\ &\text{Decreciente en: } (0, 2) \cup (2, +\infty) \end{aligned}}$$

**c) ¿Tiene extremos la función $f$?. En caso afirmativo ¿en qué puntos?** Un extremo relativo aparece donde la derivada es cero y hay un cambio de signo en la monotonía. Según la tabla anterior, en $x = 0$ la función pasa de ser creciente ($f' \gt 0$) a ser decreciente ($f' \lt 0$), por lo que existe un **máximo relativo**. Calculamos la coordenada $y$ sustituyendo $x=0$ en la función original: $$f(0) = \frac{0^2 - 3}{0^2 - 4} = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4}$$ En los puntos $x = -2$ y $x = 2$ no puede haber extremos porque la función no está definida (hay asíntotas verticales). ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } (0, 3/4). \text{ No tiene mínimos relativos.}}$$