Ecuación del plano que contiene un punto y una recta

Para hallar el plano $\pi$ que contiene a una recta $r$ y a un punto $P$, necesitamos un punto de la recta y su vector director. A partir de la ecuación continua de la recta $r \equiv \frac{x-x_0}{v_x} = \frac{y-y_0}{v_y} = \frac{z-z_0}{v_z}$, extraemos: - Un punto de la recta: $A_r(0, 3, 1)$. - El vector director de la recta: $\vec{v}_r = (2, 1, -1)$. El punto dado fuera de la recta es $P(2, -1, 2)$. 💡 **Tip:** Recuerda que en la forma continua, los números que restan a $x, y, z$ en el numerador son las coordenadas del punto, y los denominadores son las componentes del vector director.

Un plano queda determinado por un punto y dos vectores directores no colineales. Ya tenemos el primer vector director, que es el de la recta: $\vec{v}_r = (2, 1, -1)$. El segundo vector director $\vec{u}$ lo obtenemos uniendo el punto $A_r$ de la recta con el punto $P$ dado: $$\vec{u} = \vec{A_rP} = P - A_r = (2 - 0, -1 - 3, 2 - 1) = (2, -4, 1).$$ Comprobamos que no son proporcionales: $$\frac{2}{2} \neq \frac{1}{-4} \neq \frac{-1}{1}$$ Como no son proporcionales, definen un plano único.

El vector normal $\vec{n}$ al plano se obtiene mediante el producto vectorial de los dos vectores directores $\vec{v}_r$ y $\vec{u}$: $$\vec{n} = \vec{v}_r \times \vec{u} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 2 & -4 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{n} = \mathbf{i}(1 \cdot 1) + \mathbf{j}(-1 \cdot 2) + \mathbf{k}(2 \cdot (-4)) - [\mathbf{k}(1 \cdot 2) + \mathbf{i}(-1 \cdot (-4)) + \mathbf{j}(2 \cdot 1)]$$ $$\vec{n} = \mathbf{i} - 2\mathbf{j} - 8\mathbf{k} - [2\mathbf{k} + 4\mathbf{i} + 2\mathbf{j}]$$ $$\vec{n} = (1 - 4)\mathbf{i} + (-2 - 2)\mathbf{j} + (-8 - 2)\mathbf{k}$$ $$\vec{n} = -3\mathbf{i} - 4\mathbf{j} - 10\mathbf{k}$$ Podemos usar como vector normal $\vec{n} = (3, 4, 10)$ para simplificar los signos. 💡 **Tip:** El vector normal $(A, B, C)$ define los coeficientes de la ecuación implícita del plano $Ax + By + Cz + D = 0$.

La ecuación del plano tiene la forma $3x + 4y + 10z + D = 0$. Para hallar $D$, sustituimos las coordenadas del punto $P(2, -1, 2)$ en la ecuación: $$3(2) + 4(-1) + 10(2) + D = 0$$ $$6 - 4 + 20 + D = 0$$ $$22 + D = 0 \implies D = -22$$ La ecuación del plano buscado es: $$3x + 4y + 10z - 22 = 0$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{3x + 4y + 10z - 22 = 0}$$ 💡 **Tip:** Siempre conviene comprobar que el punto de la recta $A_r(0, 3, 1)$ también cumple la ecuación: $3(0) + 4(3) + 10(1) - 22 = 0 + 12 + 10 - 22 = 0$. ¡Es correcto!