Discusión de un sistema de ecuaciones con parámetros

**a) Discutirlo según los distintos valores de $a$.** Para discutir el sistema, representamos el sistema $S(a)$ en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & a + 1 & -a \\ 1 & a & a + 1 \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 2 \\ 1 & a + 1 & -a & 2a \\ 1 & a & a + 1 & 1 \end{array}\right)$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Frobenius nos permite discutir el sistema comparando el rango de la matriz de coeficientes ($A$) y el de la matriz ampliada ($A^*$). Calculamos el determinante de $A$ para ver cuándo su rango es máximo (3).

Aplicamos la regla de Sarrus para hallar $|A|$: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & a + 1 & -a \\ 1 & a & a + 1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [(1)(a+1)(a+1) + (2)(-a)(1) + (-1)(1)(a)] - [(-1)(a+1)(1) + (2)(1)(a+1) + (1)(-a)(a)]$$ $$|A| = (a+1)^2 - 2a - a - [-(a+1) + 2(a+1) - a^2]$$ $$|A| = a^2 + 2a + 1 - 3a - [a + 1 - a^2]$$ $$|A| = a^2 - a + 1 - a - 1 + a^2 = 2a^2 - 2a$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$2a^2 - 2a = 0 \implies 2a(a - 1) = 0 \implies \mathbf{a = 0, \; a = 1}$$ $$\boxed{|A| = 2a(a-1)}$$

Si $a \neq 0$ y $a \neq 1$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que el rango de la matriz de coeficientes es $\text{rg}(A) = 3$. Como la matriz ampliada $A^*$ es de dimensión $3 \times 4$, su rango máximo también es 3, por lo que $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3$. Al coincidir los rangos con el número de incógnitas, por el Teorema de Rouché-Frobenius: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a \neq 0, 1, \text{ el sistema es Compatible Determinado (SCD)}}$$

Si $a = 0$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A|=0$, por lo que $\text{rg}(A) \lt 3$. Comprobamos si hay algún menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 2 = -1 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Ahora calculamos el rango de $A^*$ tomando un menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (1+0+0) - (2+0+2) = 1 - 4 = -3 \neq 0 \implies \text{rg}(A^*) = 3$$ Como $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = 0, \text{ el sistema es Incompatible (SI)}}$$

Si $a = 1$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \end{array}\right)$$ Observamos que las dos primeras filas son idénticas ($F_1 = F_2$). Por tanto, cualquier menor de orden 3 que incluya estas dos filas será 0. El rango no puede ser 3. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 2 = -1 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2$$ Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 \lt 3$ (número de incógnitas): ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = 1, \text{ el sistema es Compatible Indeterminado (SCI)}}$$

**b) ¿Hay solución para $a = 2$? En caso afirmativo calcular dicha solución. En caso negativo razonar la respuesta.** Como vimos en el apartado (a), para $a = 2$ ($a \neq 0, 1$), el sistema es **Compatible Determinado**, por lo que existe una solución única. Sustituimos $a = 2$ en el sistema: $$\begin{cases} x + 2y - z = 2 \quad (1) \\ x + 3y - 2z = 4 \quad (2) \\ x + 2y + 3z = 1 \quad (3) \end{cases}$$ Restamos $(3) - (1)$: $$(x + 2y + 3z) - (x + 2y - z) = 1 - 2 \implies 4z = -1 \implies \mathbf{z = -1/4}$$ Restamos $(2) - (1)$: $$(x + 3y - 2z) - (x + 2y - z) = 4 - 2 \implies y - z = 2 \implies y - (-1/4) = 2$$ $$y = 2 - 1/4 = 7/4 \implies \mathbf{y = 7/4}$$ Sustituimos en $(1)$ para hallar $x$: $$x + 2(7/4) - (-1/4) = 2 \implies x + 14/4 + 1/4 = 2$$ $$x + 15/4 = 8/4 \implies x = 8/4 - 15/4 = -7/4 \implies \mathbf{x = -7/4}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{(x, y, z) = \left(-\frac{7}{4}, \frac{7}{4}, -\frac{1}{4}\right)}$$