Optimización del producto de dos números

**De todos los números positivos $x$ e $y$ tales que $x+y = 10$ encontrar aquellos para los que el producto $P = x^{2}y$ sea máximo.** En primer lugar, identificamos las variables y las condiciones dadas por el enunciado: - Los números son $x$ e $y$, con la restricción de que deben ser positivos: $x \gt 0, y \gt 0$. - La relación entre ellos es: $x + y = 10$. - La función que queremos maximizar es el producto: $P(x, y) = x^2 y$. Para poder derivar y encontrar el máximo, necesitamos expresar la función $P$ en términos de una única variable. Despejamos $y$ de la ecuación de la suma: $$y = 10 - x$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización, el primer paso siempre es identificar la **función objetivo** (lo que queremos maximizar o minimizar) y la **ecuación de ligadura** (la relación entre variables).

Sustituimos $y = 10 - x$ en la función del producto $P$: $$P(x) = x^2 (10 - x) = 10x^2 - x^3$$ Determinamos el **dominio de definición** de la función en el contexto del problema: - Como $x \gt 0$ y $y \gt 0$, y sabemos que $y = 10 - x$, entonces $10 - x \gt 0 \implies x \lt 10$. - Por lo tanto, el dominio es el intervalo abierto $D = (0, 10)$. $$\boxed{P(x) = 10x^2 - x^3, \quad x \in (0, 10)}$$

Para encontrar el máximo, calculamos la primera derivada de $P(x)$ e igualamos a cero: $$P'(x) = \frac{d}{dx}(10x^2 - x^3) = 20x - 3x^2$$ Resolvemos $P'(x) = 0$: $$20x - 3x^2 = 0 \implies x(20 - 3x) = 0$$ Esto nos da dos soluciones posibles: 1. $x = 0$ (No válida, ya que el enunciado pide números positivos $x \gt 0$). 2. $20 - 3x = 0 \implies 3x = 20 \implies x = \dfrac{20}{3}$ Como $\dfrac{20}{3} \approx 6,67$ está dentro del dominio $(0, 10)$, es nuestro candidato a máximo. 💡 **Tip:** Los puntos críticos donde la derivada es cero son candidatos a extremos relativos (máximos o mínimos).

Para confirmar que $x = \dfrac{20}{3}$ es un máximo, utilizamos el criterio de la **segunda derivada**: $$P''(x) = \frac{d}{dx}(20x - 3x^2) = 20 - 6x$$ Evaluamos la segunda derivada en el punto crítico: $$P''\left(\frac{20}{3}\right) = 20 - 6\left(\frac{20}{3}\right) = 20 - 2 \cdot 20 = 20 - 40 = -20$$ Como $P''\left(\dfrac{20}{3} ight) \lt 0$, la función presenta un **máximo relativo** en ese punto. También podemos observar el signo de la primera derivada en una tabla: $$ \begin{array}{c|ccc} x & (0, 20/3) & 20/3 & (20/3, 10)\\ \hline P'(x) & + & 0 & - \\ P(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow \end{array} $$ 💡 **Tip:** Si $f''(a) \lt 0$, la función es cóncava hacia abajo y hay un máximo. Si $f''(a) \gt 0$, es cóncava hacia arriba y hay un mínimo.

Una vez hallado el valor de $x$ que maximiza el producto, calculamos el valor de $y$ utilizando la relación $y = 10 - x$: $$y = 10 - \frac{20}{3} = \frac{30 - 20}{3} = \frac{10}{3}$$ Ambos valores son positivos ($x = 6,67$ e $y = 3,33$), cumpliendo las condiciones del problema. ✅ **Resultado final:** Los números buscados son: $$\boxed{x = \frac{20}{3}, \quad y = \frac{10}{3}}$$