Integral indefinida de una función racional

**Calcular la siguiente integral indefinida: $\int \frac{2x - 1}{x(x + 1)^2} dx$** Nos encontramos ante una integral de una **función racional** (cociente de polinomios) donde el grado del numerador es menor que el del denominador. Para resolverla, utilizaremos el método de **descomposición en fracciones simples**. Primero, analizamos las raíces del denominador $x(x+1)^2$: - $x = 0$ es una raíz real simple. - $x = -1$ es una raíz real con multiplicidad 2 (doble). 💡 **Tip:** Cuando el denominador tiene raíces reales, podemos descomponer la fracción en una suma de fracciones más sencillas cuyas integrales sean inmediatas (tipo logaritmo o potencia).

Dada la naturaleza de las raíces, planteamos la descomposición de la siguiente forma: $$\frac{2x - 1}{x(x + 1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{(x + 1)^2}$$ Para hallar los valores de $A$, $B$ y $C$, sumamos las fracciones para igualar los numeradores: $$\frac{2x - 1}{x(x + 1)^2} = \frac{A(x + 1)^2 + Bx(x + 1) + Cx}{x(x + 1)^2}$$ Por lo tanto, la igualdad entre numeradores es: $$2x - 1 = A(x + 1)^2 + Bx(x + 1) + Cx$$

Para encontrar las constantes, asignamos a $x$ los valores de las raíces del denominador y cualquier otro valor sencillo: - **Si $x = 0$**: $$2(0) - 1 = A(0 + 1)^2 + B(0)(0 + 1) + C(0)$$ $$-1 = A(1) \implies \mathbf{A = -1}$$ - **Si $x = -1$**: $$2(-1) - 1 = A(-1 + 1)^2 + B(-1)(-1 + 1) + C(-1)$$ $$-3 = -C \implies \mathbf{C = 3}$$ - **Si $x = 1$** (usamos un valor cualquiera para hallar $B$): $$2(1) - 1 = A(1 + 1)^2 + B(1)(1 + 1) + C(1)$$ $$1 = 4A + 2B + C$$ Sustituimos $A = -1$ y $C = 3$: $$1 = 4(-1) + 2B + 3 \implies 1 = -4 + 2B + 3 \implies 1 = -1 + 2B \implies 2 = 2B \implies \mathbf{B = 1}$$ 💡 **Tip:** También podrías hallar $B$ comparando los coeficientes de $x^2$ en ambos lados de la ecuación: $0 = A + B$.

Sustituimos los coeficientes obtenidos en la integral original: $$\int \frac{2x - 1}{x(x + 1)^2} dx = \int \left( \frac{-1}{x} + \frac{1}{x + 1} + \frac{3}{(x + 1)^2} \right) dx$$ Separamos en tres integrales y resolvemos: 1. $\int -\frac{1}{x} dx = -\ln|x|$ 2. $\int \frac{1}{x + 1} dx = \ln|x + 1|$ 3. $\int \frac{3}{(x + 1)^2} dx = 3 \int (x + 1)^{-2} dx = 3 \frac{(x + 1)^{-1}}{-1} = -\frac{3}{x + 1}$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int \frac{1}{u^2} du = -\frac{1}{u} + C$ y que $\int \frac{1}{u} du = \ln|u| + C$.

Agrupamos todos los términos y sumamos la constante de integración $K$: $$I = -\ln|x| + \ln|x + 1| - \frac{3}{x + 1} + K$$ Podemos simplificar los logaritmos usando la propiedad $\ln a - \ln b = \ln(a/b)$: $$I = \ln \left| \frac{x + 1}{x} \right| - \frac{3}{x + 1} + K$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int \frac{2x - 1}{x(x + 1)^2} dx = \ln \left| \frac{x + 1}{x} \right| - \frac{3}{x + 1} + K}$$ (Donde $K$ es la constante de integración real).