Continuidad y derivabilidad con parámetros

Para estudiar la continuidad y derivabilidad de la función, primero debemos observar el comportamiento de cada rama y el valor del parámetro $a$. La función es: $$f(x) = \begin{cases} 3 - ax^2, & \text{si } x \leq 1 \\ \frac{2}{ax}, & \text{si } x > 1 \end{cases}$$ - La primera rama, $f_1(x) = 3 - ax^2$, es una función polinómica, por lo que es continua y derivable en todo su dominio de definición $(-\infty, 1]$. - La segunda rama, $f_2(x) = \frac{2}{ax}$, es una función racional. Para que esté definida en $(1, +\infty)$, el denominador no puede ser cero. Si $a = 0$, la función no está definida para $x > 1$. Si $a \neq 0$, el único punto problemático es $x = 0$, pero como esta rama solo actúa para $x > 1$, la función es continua y derivable en $(1, +\infty)$ siempre que **$a \neq 0$**. Por tanto, el estudio principal se centra en el punto de salto entre ramas **$x = 1$**.

Para que $f(x)$ sea continua en $x = 1$, deben coincidir el valor de la función y los límites laterales: 1. **Valor de la función:** $f(1) = 3 - a(1)^2 = 3 - a$. 2. **Límite por la izquierda:** $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1} (3 - ax^2) = 3 - a$. 3. **Límite por la derecha:** $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{2}{ax} = \frac{2}{a}$ (suponiendo $a \neq 0$). Igualamos los límites para que no haya un salto en la gráfica: $$3 - a = \frac{2}{a} \implies 3a - a^2 = 2 \implies a^2 - 3a + 2 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$a = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$$ Esto nos da dos valores posibles para $a$: - $a_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2$ - $a_2 = \frac{3 - 1}{2} = 1$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que una función sea continua en un punto $c$, debe cumplirse $\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = f(c)$. ✅ **Conclusión de continuidad:** - Si **$a = 1$ o $a = 2$**, la función es **continua en $x = 1$** (y por tanto en $\mathbb{R}$). - Si **$a \neq 1, a \neq 2$ (y $a \neq 0$)**, la función tiene un **salto finito en $x = 1$**.

Una función solo puede ser derivable en los puntos donde previamente es continua. Por tanto, solo estudiaremos la derivabilidad en $x = 1$ para los casos $a = 1$ y $a = 2$. Calculamos la derivada de las ramas para $x \neq 1$: $$f'(x) = \begin{cases} -2ax, & \text{si } x < 1 \\ -\frac{2}{ax^2}, & \text{si } x > 1 \end{cases}$$ Para que sea derivable en $x = 1$, las derivadas laterales deben coincidir ($f'(1^-) = f'(1^+)$): - Derivada por la izquierda: $f'(1^-) = -2a(1) = -2a$. - Derivada por la derecha: $f'(1^+) = -\frac{2}{a(1)^2} = -\frac{2}{a}$. Igualamos las derivadas laterales: $$-2a = -\frac{2}{a} \implies -2a^2 = -2 \implies a^2 = 1 \implies a = \pm 1$$ Como solo podíamos ser derivables si éramos continuos ($a=1$ o $a=2$), comparamos: - Para **$a = 1$**: Es continua y las derivadas laterales coinciden ($-2(1) = -2/1 = -2$). **Es derivable**. - Para **$a = 2$**: Es continua, pero las derivadas laterales no coinciden ($-4 \neq -1$). **No es derivable**. 💡 **Tip:** La derivabilidad implica continuidad, pero la continuidad no asegura la derivabilidad (puede haber puntos angulosos).

Analizando todos los casos para el parámetro $a$: 1. **Si $a = 1$**: La función es **continua y derivable en todo $\mathbb{R}$**. 2. **Si $a = 2$**: La función es **continua en todo $\mathbb{R}$**, pero **no es derivable en $x = 1$** (presenta un punto anguloso). 3. **Si $a \neq 1, a \neq 2$ (y $a \neq 0$)**: La función **no es continua en $x = 1$** (salto finito), y por consiguiente, **tampoco es derivable en $x = 1$**. 4. **Si $a = 0$**: La función no está definida para $x > 1$, por lo que no es continua ni derivable en ese intervalo. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{cases} a=1: \text{Continua y derivable en } \mathbb{R} \\ a=2: \text{Continua en } \mathbb{R}, \text{ no derivable en } x=1 \\ a \notin \{1, 2\}: \text{No continua ni derivable en } x=1 \end{cases}}$$