Coplanaridad de puntos y pertenencia a una recta

**a) ¿Están en el mismo plano? En caso afirmativo hallar la ecuación del plano. En caso negativo razonar la respuesta.** Para determinar si cuatro puntos $A, B, C$ y $D$ son coplanarios, primero construimos tres vectores que partan de uno de ellos (por ejemplo, el punto $A$) hacia los otros tres. Calculamos los vectores $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ y $\vec{AD}$ restando las coordenadas de sus extremos: $$\vec{AB} = B - A = (2-3, 3-3, 4-3) = (-1, 0, 1)$$ $$\vec{AC} = C - A = (0-3, 0-3, 4-3) = (-3, -3, 1)$$ $$\vec{AD} = D - A = (3-3, 0-3, 1-3) = (0, -3, -2)$$ 💡 **Tip:** Cuatro puntos son coplanarios si los tres vectores formados por ellos son linealmente dependientes, lo que implica que el determinante de la matriz que forman es cero.

Procedemos a calcular el determinante de los tres vectores obtenidos para comprobar si su rango es menor que 3. $$\text{det}(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}) = \begin{vmatrix} -1 & 0 & 1 \\ -3 & -3 & 1 \\ 0 & -3 & -2 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la **regla de Sarrus**: $$\text{det} = [(-1) \cdot (-3) \cdot (-2) + 0 \cdot 1 \cdot 0 + 1 \cdot (-3) \cdot (-3)] - [0 \cdot (-3) \cdot 1 + (-3) \cdot 1 \cdot (-1) + (-2) \cdot (-3) \cdot 0]$$ $$\text{det} = [-6 + 0 + 9] - [0 + 3 + 0] = 3 - 3 = 0$$ Como el determinante es **cero**, los vectores son linealmente dependientes. Esto significa que los puntos $A, B, C$ y $D$ se encuentran en un mismo plano. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Los puntos son coplanarios}}$$

Para hallar la ecuación del plano $\pi$ que contiene a los puntos, utilizaremos un punto (por ejemplo $A(3, 3, 3)$) y dos de los vectores directores ya calculados: $\vec{AB}(-1, 0, 1)$ y $\vec{AC}(-3, -3, 1)$. La ecuación general se obtiene mediante el determinante: $$\begin{vmatrix} x-3 & y-3 & z-3 \\ -1 & 0 & 1 \\ -3 & -3 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos por la primera fila: $$(x-3) \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -3 & 1 \end{vmatrix} - (y-3) \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -3 & 1 \end{vmatrix} + (z-3) \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ -3 & -3 \end{vmatrix} = 0$$ $$(x-3)(0 - (-3)) - (y-3)(-1 - (-3)) + (z-3)(3 - 0) = 0$$ $$3(x-3) - 2(y-3) + 3(z-3) = 0$$ $$3x - 9 - 2y + 6 + 3z - 9 = 0$$ $$3x - 2y + 3z - 12 = 0$$ ✅ **Resultado (ecuación del plano):** $$\boxed{3x - 2y + 3z - 12 = 0}$$

**b) Calcular $a$ para que el punto $P(a, a, 8)$ esté en la recta que pasa por los puntos $A$ y $C$.** Primero obtenemos la ecuación de la recta $r$ que pasa por $A(3, 3, 3)$ y $C(0, 0, 4)$. El vector director es $\vec{AC} = (-3, -3, 1)$. Utilizamos las ecuaciones paramétricas de la recta: $$r: \begin{cases} x = 3 - 3\lambda \\ y = 3 - 3\lambda \\ z = 3 + \lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Un punto pertenece a una recta si existe un valor de $\lambda$ que satisface simultáneamente las tres coordenadas del punto en las ecuaciones de la recta.

Para que $P(a, a, 8)$ pertenezca a la recta $r$, sustituimos sus coordenadas en las ecuaciones paramétricas: 1. Para la coordenada $z$: $8 = 3 + \lambda \implies \lambda = 5$ Ahora usamos este valor de $\lambda = 5$ para hallar el valor de $a$ en las coordenadas $x$ e $y$: 2. Para la coordenada $x$: $a = 3 - 3(5) = 3 - 15 = -12$ 3. Para la coordenada $y$: $a = 3 - 3(5) = 3 - 15 = -12$ Como el valor de $a$ es coincidente en ambas ecuaciones, el punto $P$ pertenece a la recta para dicho valor. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = -12}$$