Rango de una matriz con parámetro

**Calcula el rango de la siguiente matriz según los valores de $a$:** La matriz $A$ tiene dimensiones $3 \times 4$ (3 filas y 4 columnas). Por tanto, el rango máximo que puede alcanzar es el menor de ambos valores: $$\text{rg}(A) \le \min(3, 4) = 3.$$ Antes de calcular determinantes, observamos si existe alguna relación sencilla entre columnas. Notamos que la cuarta columna ($C_4$) es el doble de la primera ($C_1$): $$C_4 = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = 2C_1.$$ Esto significa que las columnas $C_1$ y $C_4$ son linealmente dependientes. Para el cálculo del rango, podemos prescindir de una de ellas (por ejemplo, $C_4$) y estudiar el rango de la submatriz formada por las tres primeras columnas. 💡 **Tip:** El rango de una matriz es el número máximo de filas o columnas linealmente independientes. Si una columna es múltiplo de otra, no aporta valor al rango.

Para que el rango de $A$ sea 3, debe existir al menos un menor de orden 3 (un determinante de una submatriz $3 \times 3$) que sea distinto de cero. Tomamos el menor formado por las columnas $C_1$, $C_2$ y $C_3$: $$|M| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 0 & a & 4 \\ -1 & 3 & a \end{vmatrix}$$ Calculamos su valor aplicando la **regla de Sarrus**: $$|M| = (1 \cdot a \cdot a) + (0 \cdot 4 \cdot (-1)) + (4 \cdot 0 \cdot 3) - [(-1) \cdot a \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 1 + a \cdot 0 \cdot 0]$$ $$|M| = a^2 + 0 + 0 - [-4a + 12 + 0]$$ $$|M| = a^2 + 4a - 12.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en Sarrus sumamos los productos de la diagonal principal y sus paralelas, y restamos los de la diagonal secundaria y las suyas.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores de $a$ que hacen que el rango sea menor que 3: $$a^2 + 4a - 12 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$a = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2}$$ $$a = \frac{-4 \pm 8}{2}$$ Obtenemos dos soluciones: - $a_1 = \frac{4}{2} = 2$ - $a_2 = \frac{-12}{2} = -6$ $$\boxed{a = 2, \quad a = -6}$$

Si $a \neq 2$ y $a \neq -6$, el determinante del menor de orden 3 es distinto de cero: $$|M| \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 3.$$ Como hemos encontrado un menor de orden 3 no nulo, el rango es máximo. ✅ **Resultado para este caso:** $$\boxed{\text{Si } a \neq 2 \text{ y } a \neq -6, \text{ rg}(A) = 3}$$

Si $a = 2$, el determinante del menor anterior es $|M| = 0$. Debido a que $C_4 = 2C_1$, cualquier otro menor de orden 3 que incluya a $C_1$ y $C_4$ será automáticamente 0. Además, el menor formado por $C_2, C_3, C_4$ también será 0 por ser proporcional al que ya hemos calculado. Por tanto, el rango no puede ser 3. Comprobamos si es 2 buscando un menor de orden 2 distinto de cero. En la matriz $A$ para $a=2$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & 0 \\ -1 & 3 & 2 & -2 \end{pmatrix}$$ Tomamos el menor formado por las dos primeras filas y columnas: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2 \neq 0.$$ Al existir un menor de orden 2 no nulo, el rango es 2. ✅ **Resultado para este caso:** $$\boxed{\text{Si } a = 2, \text{ rg}(A) = 2}$$

Si $a = -6$, el determinante del menor de orden 3 es $|M| = 0$. Al igual que en el caso anterior, todos los menores de orden 3 serán nulos por la dependencia $C_4 = 2C_1$. En la matriz $A$ para $a = -6$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 & 2 \\ 0 & -6 & 4 & 0 \\ -1 & 3 & -6 & -2 \end{pmatrix}$$ Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -6 \end{vmatrix} = -6 \neq 0.$$ Al existir un menor de orden 2 no nulo, el rango es 2. ✅ **Resultado para este caso:** $$\boxed{\text{Si } a = -6, \text{ rg}(A) = 2}$$

Resumiendo los resultados obtenidos tras el estudio de los menores de la matriz: - Si $a \in \mathbb{R} \setminus \{2, -6\}$, el **rango es 3**. - Si $a = 2$ o $a = -6$, el **rango es 2**. ✅ **Solución final:** $$\boxed{\begin{cases} \text{rg}(A) = 3 & \text{si } a \neq 2, -6 \\ \text{rg}(A) = 2 & \text{si } a = 2 \text{ o } a = -6 \end{cases}}$$