Cálculo del último dígito de una potencia

Para facilitar el cálculo, observamos que ambos factores tienen el mismo exponente. Podemos aplicar la propiedad de la potencia de un producto: $$a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$$ En nuestro caso, $a = 2018$, $b = 3$ y $n = 2018$: $$P = (2018 \cdot 3)^{2018}$$ Realizamos la multiplicación de la base: $$2018 \cdot 3 = 6054$$ Por tanto, la expresión queda simplificada como: $$\boxed{P = 6054^{2018}}$$ 💡 **Tip:** Siempre que tengas exponentes iguales, intenta agrupar las bases para simplificar la operación.

El último dígito de cualquier número elevado a una potencia entera positiva depende exclusivamente del último dígito de la base. Esto se debe a que, al multiplicar números, el último dígito del resultado solo proviene del producto de las unidades de los factores. En términos de aritmética modular, esto equivale a decir que: $$x^n \equiv (x \pmod{10})^n \pmod{10}$$ En nuestro caso, el último dígito de $6054$ es $4$. Por tanto, el último dígito de $6054^{2018}$ será el mismo que el último dígito de: $$\boxed{4^{2018}}$$ 💡 **Tip:** Para hallar la última cifra de un número muy grande, basta con fijarse en la cifra de las unidades de la base.

Analizamos cómo se comporta el último dígito de las potencias sucesivas de $4$ para encontrar un patrón cíclico: - $4^1 = 4$ (termina en **4**) - $4^2 = 16$ (termina en **6**) - $4^3 = 64$ (termina en **4**) - $4^4 = 256$ (termina en **6**) Observamos que el último dígito sigue un ciclo de longitud 2: 1. Si el exponente es **impar**, la potencia termina en **4**. 2. Si el exponente es **par**, la potencia termina en **6**. $$\text{Última cifra de } 4^n = \begin{cases} 4 & \text{si } n \text{ es impar} \\ 6 & \text{si } n \text{ es par} \end{cases}$$

El exponente de nuestra expresión es $2018$. Debemos determinar si es par o impar: $$2018 = 2 \cdot 1009 \implies \text{es un número par}$$ Al ser el exponente **par**, aplicamos el patrón analizado en el paso anterior. El último dígito de $4^{\text{par}}$ es siempre $6$. Por lo tanto, el último dígito de $P = 6054^{2018}$ es $6$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{6}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que un número es par si su última cifra es $0, 2, 4, 6$ u $8$.